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0. Prérequis

  • reconnaissance de la forme globale du « rond »,
  • dessiner un rond à main levée,

1. Les apprentissages visés

  • construire un cercle connaissant son centre et un point, son centre et son rayon, en connaissant son diamètre.
  • connaitre et utiliser le vocabulaire: cercle, disque, centre, rayon,
  • utiliser un compas
  • faire le lien entre l’instrument de tracé ( le compas) et la propriété géométrique du cercle.

2. Outil ou objet d’étude ?

Objet d’étude: tracé le cercle sans contraintes puis avec un compas, reconnaissance de forme, propriété du cercle: longueur constante entre centre et bord.

Outil: dessiner des figures (rosaces) , reproduire des figures, prévoir/ tracer trajectoire, reporter une longueur, construire des triangles.

G1: le cercle est rond, disque matériel, pièces de monnaie.

G2: arc de cercle, tracé de cercle entier => C3, ensemble de point équidistant d’un point donné.

Nota : la prise de conscience d’un lieu particulier appelé centre qui est à distance constante de la ligne tracée.

3. Evolution du sens pour l’élève:

  • rond (C1),
  • dessin obtenu avec un compas (C2),
  • ligne fermée à distance constante d’un centre, ligne fermée ayant une infinité d’axe de symétrie, ligne fermée à courbure constante (C3)

Mobilisé faire vivre : les égalités de longueur, le report de longueur. notion de milieu (tracé d’un cercle), notion de boules (cylindres et cônes), point (avec le centre du cercle, longueur (rayon, diamètre), segment (rayons, cordes).

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Dès la PS, l’élève différencie les formes par la vue, le toucher. Les formes apprises sont: carré, triangle et ronds.

En MS, on augmente le nombre de forme et le classement.

En GS, les élèves classent les différentes formes et énoncent les propriétés (nombre de bord, pointus??)

  • La topologie: les élèves apprennent à se repérer dans l’espace en salle de motricité avec des jeux de déplacements ( dessus, devant, derrière.. ) puis compare avec les photographies.
  • Tangrams: observer, décrire, nommer les différentes parties.
  • Utilisation du quadrillage en découverte pour des situations de repérage dans l’espace

Digression: La découverte des solides est faite de manière perceptive en les observant, en les manipulant. Les élèves doivent nommer les solides. On peut proposer un sac à forme pour une exploration tactile des solides.

http://ww2.ac-poitiers.fr/ia16-pedagogie/IMG/pdf/formes_geometriques_a_l_ecole_maternelle.pdf

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Selon Catherine Houdement et JP Rouquès, il y a 2 types de géométrie en jeu dans la géométrie plane:

  • la géométrie « dessinée » ou géométrie perceptive dite G1: reconnaissance des figures, relations figures/ points, actions menées,.. elle étudie les objets matériels. Elle est « utilisée/enseignée » en cycle 1 et cycle 2.

Attention: le raisonnement et les connaissances des propriétés ne sont pas abstraits de G1. C’est à dire que cette géométrie est instrumentée. La propriété est vrai si cela peut-être contrôler des instruments (fin C2 et C3)

  • la géométrie abstraite ou la géométrie déductive dite G2: étude des objets théorique, définie par un texte. La propriété est vrai parce qu’elle est démontrée.

La géométrie est un ensemble de concepts qui évoque les objets géométrique et les relations géométrique entre objet.

G1 dessinéeG2 abstraite
Comparaison de mesures/ mesuresouinon, on fait des conjectures seulement.
Statut du dessinobjet d’étude et de validationsupport de raisonnement
Preuveobservation et expériencedéduction logique, définition, résultat démontré

http://www.irem.sciences.univ-nantes.fr/archives/geometriePlane/geometriesDessineeAbstraite.pdf

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1. Propriétés du triangle

1.1 Le triangle en général

  • Dans un triangle, la longueur d’un côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
  • Si dans un triangle une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté.
  • Si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
  • Si dans un triangle un segment joint les milieux de deux côtés, alors sa longueur est la moitié de celle du troisième côté.

1.2. Le triangle rectangle

  • Si un point M est sur le cercle de diamètre [AB], alors le triangle AMB est rectangle en M
  • Si un triangle AMB est rectangle en M, alors M est sur le cercle de diamètre [AB].
  • Si un triangle est rectangle, alors le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit (Théorème de Pythagore).
  • Si dans un triangle le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore).
  • Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.  => penser au cercle circonscrit!!!!!

1.3. Triangle isocèle, triangle équilatéral

  • Si un triangle ABC est isocèle en A, alors les angles de sommets B et C sont égaux.
  • Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
  • Si un triangle est isocèle en A, alors sa médiane issue de A, sa hauteur issue de A, la médiatrice du côté opposé à A et la bissectrice de l’angle de sommet A sont confondues.
  • Si dans un triangle, la médiane issue du sommet A est aussi hauteur, alors ce triangle est isocèle en A.
  • Si dans un triangle, la hauteur issue du sommet A est aussi bissectrice, alors ce triangle est isocèle en A.
  • Si dans un triangle, la médiane issue du sommet A est aussi bissectrice, alors ce triangle est isocèle en A.
  • Si un triangle est équilatéral, alors il a trois angles égaux à 60°
  • Si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral.

2. Les droites remarquables du triangle

2.1. La hauteur

La hauteur d’un triangle est perpendiculaire à un côté et passe par le sommet opposé.

Les 3 hauteurs d’un triangle sont concourantes. Leur point d’intersection est l’ORTHOCENTRE.

Hauteurs et orthocentre en H

2.2. La médiane

Les médianes d’un triangle passent par le milieu des côtés et leurs sommets opposés. Le point d’intersection est le CENTRE DE GRAVITE.

Les médianes d’un triangle passent par le milieu des côtés et leurs sommets opposés. Le point d’intersection est le CENTRE DE GRAVITE.

G est le point d’intersection des médianes du triangle. AG = 2/3 AI

2.3. La médiatrice

La médiatrice est la droite perpendiculaire qui passe par le milieu d’un côté.

Le point d’intersection des 3 médiatrices d’un triangle est le centre du cercle circonscrit.

2.4. La bissectrice

Les 3 bissectrices dont concourantes. Leur points d’intersection est le centre du cercle inscrit.

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1. Quelques définitions

Un polygone c’est:

  • une ligne brisée fermée
  • un figure limitée par des côtés qui sont tous des segments

Un polygone est convexe quand on peut joindre (faire une ligne droite) deux sommets quelconques de la figure sans sortir de la surface intérieure. Sinon , il est concave.

Un polygone est croisé si deux de ses côtés se coupent.

Quelques noms de polygones courants et leur nombre de cotés:

  • triangle – 3 côtés,
  • quadrilatère – 4 côtés,
  • pentagone -5 côtés,
  • hexagone – 6 côtés,
  • octogone – 8 côtés,
  • décagone – 10 côtés,
  • dodécagone -12 côtés.

Un polygone régulier est un polygone qui a tous ses angles et ses cotés égaux.

Un polygone régulier est inscriptible dans un cercle et a tous ses côtés de même longueur. Si le polygone a n côtés alors chaque angle à la valeur de 360/n

2. Les quadrilatères

Les polygones à 4 côtés sont des quadrilatères.

Ci-après, vous trouverez la procédure des démonstrations à faire pour montrer lors du concours qu’un quadrilatère est un trapèze/un parallélogramme/un carré ou un losange.

La figure est un quadrilatère c’est à dire qu’elle a 4 côtés et qu’elle est fermée.

1..Si le quadrilatère a deux côtés parallèles alors c’est un trapèze.

2. Si le trapèze a ses 2 autres cotés parallèles alors c’est un parallélogramme.

Le parallélogramme a des cotés opposés parallèles et de même longueur. Les diagonales se coupent en leur milieu et ce milieu est le centre de symétrie du parallélogramme.

3. Si le parallélogramme a un angle droit c’est un rectangle.

4. Si les 4 cotés du parallélogramme ont même longueur c’est à dire qu’ils sont isométriques alors c’est un losange.

5. Si le rectangle a 4 côtés de même longueurs ou si le losange a un angle droit alors c’est un carré!

Propriétés d’un quadrilatère:

  • si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme,
  • si un quadrilatère a des cotés parallèles 2 à 2 alors c’est un parallélogramme et réciproquement,
  • si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses cotés opposés sont de même longueurs et réciproquement,
  • si un quadrilatère a des côtés opposés parallèles 2 à 2 alors c’est un parallélogramme.
  • si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueurs alors c’est un parallélogramme,
  • si un quadrilatère a 4 côtés de même longueurs et un angle droit c’est un carré.

Le parallélogramme

  • si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c’est un losange,
  • si un parallélogramme a un ses diagonales de mêmes longueurs alors c’est un rectangle,
  • si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur alors c’est un carré.

Le losange

  • si un quadrilatère a 4 côtés de même longueurs alors c’est un losange
  • si un quadrilatère est un losange alors ses cotés opposés sont parallèles 2 à 2 et ses 4 côtés ont même longueur.
  • si un quadrilatère a des diagonales qui le même milieu et qui sont perpendiculaires alors c’est un losange et réciproquement.
  • si un quadrilatère est un parallélogramme qui a 2 côtés consécutifs de même longueurs alors c’est un losange.

Le rectangle

  • si un quadrilatère a 3 angles droits alors c’est un rectangle
  • si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles 2 à 2, de même longueur et ses 4 angles sont droits.
  • si un quadrilatère a des diagonales qui ont le même milieu et sont de même longueurs c’est un rectangle et réciproquement.
  • si un quadrilatère est un parallélogramme qui a un angle droit c’est un rectangle.
  • si un quadrilatère est un parallélogramme qui a les diagonales de même longueurs c’est un rectangle.

Le carré

  • si un quadrilatère a 4 côtés de même longueurs et un angle droit alors c’est un carré.
  • si un quadrilatère est un carré alors il a 4 côtés de même longueurs, 4 angles droits et ses côtés opposés sont parallèles.
  • si un quadrilatère a des diagonales qui ont le même milieu, sont de même longueurs et sont perpendiculaires alors c’est un carré et réciproquement.
  • si un quadrilatère est un losange qui a un angle droit c’est un carré.
  • si un quadrilatère est un losange qui a 2 diagonales de même longueurs c’est un carré.