1. Quelques définitions

Un polygone c’est:

  • une ligne brisée fermée
  • un figure limitée par des côtés qui sont tous des segments

Un polygone est convexe quand on peut joindre (faire une ligne droite) deux sommets quelconques de la figure sans sortir de la surface intérieure. Sinon , il est concave.

Un polygone est croisé si deux de ses côtés se coupent.

Quelques noms de polygones courants et leur nombre de cotés:

  • triangle – 3 côtés,
  • quadrilatère – 4 côtés,
  • pentagone -5 côtés,
  • hexagone – 6 côtés,
  • octogone – 8 côtés,
  • décagone – 10 côtés,
  • dodécagone -12 côtés.

Un polygone régulier est un polygone qui a tous ses angles et ses cotés égaux.

Un polygone régulier est inscriptible dans un cercle et a tous ses côtés de même longueur. Si le polygone a n côtés alors chaque angle à la valeur de 360/n

2. Les quadrilatères

Les polygones à 4 côtés sont des quadrilatères.

Ci-après, vous trouverez la procédure des démonstrations à faire pour montrer lors du concours qu’un quadrilatère est un trapèze/un parallélogramme/un carré ou un losange.

La figure est un quadrilatère c’est à dire qu’elle a 4 côtés et qu’elle est fermée.

1..Si le quadrilatère a deux côtés parallèles alors c’est un trapèze.

2. Si le trapèze a ses 2 autres cotés parallèles alors c’est un parallélogramme.

Le parallélogramme a des cotés opposés parallèles et de même longueur. Les diagonales se coupent en leur milieu et ce milieu est le centre de symétrie du parallélogramme.

3. Si le parallélogramme a un angle droit c’est un rectangle.

4. Si les 4 cotés du parallélogramme ont même longueur c’est à dire qu’ils sont isométriques alors c’est un losange.

5. Si le rectangle a 4 côtés de même longueurs ou si le losange a un angle droit alors c’est un carré!

Propriétés d’un quadrilatère:

  • si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme,
  • si un quadrilatère a des cotés parallèles 2 à 2 alors c’est un parallélogramme et réciproquement,
  • si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses cotés opposés sont de même longueurs et réciproquement,
  • si un quadrilatère a des côtés opposés parallèles 2 à 2 alors c’est un parallélogramme.
  • si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueurs alors c’est un parallélogramme,
  • si un quadrilatère a 4 côtés de même longueurs et un angle droit c’est un carré.

Le parallélogramme

  • si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c’est un losange,
  • si un parallélogramme a un ses diagonales de mêmes longueurs alors c’est un rectangle,
  • si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur alors c’est un carré.

Le losange

  • si un quadrilatère a 4 côtés de même longueurs alors c’est un losange
  • si un quadrilatère est un losange alors ses cotés opposés sont parallèles 2 à 2 et ses 4 côtés ont même longueur.
  • si un quadrilatère a des diagonales qui le même milieu et qui sont perpendiculaires alors c’est un losange et réciproquement.
  • si un quadrilatère est un parallélogramme qui a 2 côtés consécutifs de même longueurs alors c’est un losange.

Le rectangle

  • si un quadrilatère a 3 angles droits alors c’est un rectangle
  • si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles 2 à 2, de même longueur et ses 4 angles sont droits.
  • si un quadrilatère a des diagonales qui ont le même milieu et sont de même longueurs c’est un rectangle et réciproquement.
  • si un quadrilatère est un parallélogramme qui a un angle droit c’est un rectangle.
  • si un quadrilatère est un parallélogramme qui a les diagonales de même longueurs c’est un rectangle.

Le carré

  • si un quadrilatère a 4 côtés de même longueurs et un angle droit alors c’est un carré.
  • si un quadrilatère est un carré alors il a 4 côtés de même longueurs, 4 angles droits et ses côtés opposés sont parallèles.
  • si un quadrilatère a des diagonales qui ont le même milieu, sont de même longueurs et sont perpendiculaires alors c’est un carré et réciproquement.
  • si un quadrilatère est un losange qui a un angle droit c’est un carré.
  • si un quadrilatère est un losange qui a 2 diagonales de même longueurs c’est un carré.

1. Quelques définitions

Les différents types d’angles:

  • angle aigu (inférieur à 90°)
  • angle obtus (supérieur à 90°)
  • angle droit (égale à 90°)
  • angle plat (égale à 180°)
  • angle saillant ( qui sort – “qui pique”)
  • angle rentrant ( qui est vers l’intérieur de la figure)

Les angles adjacents: ils sont un sommet et un coté commun. Ils sont situés de part et d’autre de la droite.

Les angles opposés par le sommet : ils ont en commun un sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.

Deux angles opposés par le sommet sont égaux.

source: maths-collège.fr

2. La bissectrice d’un angle

La bissectrice d’un angle est la droite qui passe par le sommet de l’angle et qui partage l’angle en 2 angles égaux.

Pour tracer la bissectrice d’un angle:

  1. tracer avec le compas un arc de cercle de centre O qui coupe les droites en deux points : B et C
  2. tracer deux arcs de cercle de même rayon de centre B et C qui vont se couper en D.
  3. tracer la droite OD, on obtient la bissectrice de l’angle.

La bissectrice d’un angle est l’ensemble des points équidistants des côtés de cet angle.

La bissectrice d’un angle est aussi son axe de symétrie.

Les bissectrices des 3 angles d’un triangles sont toujours concourantes. Leur point commun est le centre d’un cercle tangent aux 3 côtés du triangle, c’est à dire le cercle inscrit dans le triangle.

source: maxicours.fr

Le centre du cercle inscrit est équidistant aux 3 côtés tangents à ce cercle .

3. Angles et droites parallèles.

Angles alternes- internes ou correspondants opposés par le sommet et définis à partir de droites parallèles ont même mesure.

source: educastream

Réciproque : si deux droites coupées par une sécante forme des angles alternes- internes ou égaux, alors ces droites sont parallèles.

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont même mesure et ses angles consécutifs sont supplémentaires (c’est à dire que la somme des angles est égale à 180°)

Angles alternes- externes :  ils sont situés de part et d’autre de la droite sécante des deux parallèles ; ils sont situés à l’extérieur des deux droites ; ils ne sont pas adjacents. Ils ont même mesure.

Réciproque: si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-externes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

4. Angles et cercle

Angle au centre du cercle : angle dont le sommet est le centre du cercle, il intercepte l’arc.

Angle inscrit dans un cercle: angle dont le sommet est un point du cercle et les côtés coupent le cercle.

Si un angle AMB inscrit intercepte le même arc qu’un angle AOB au cercle alors AMB =1/2 AOB.

source bibmath.net

Si 2 angles inscrits interceptent le même arc alors ils sont égaux.

source: edustream

si [AB] est le diamètre du cercle C et M un point du cercle alors ABM est un triangle rectangle en M.

source : mathematiques3.free.fr

1. Droite, demi droite et segment

Droite (AB) ou (d)

Demie droite d’origine 1 passant par B [AB)

Segment [AB]

2. Cercle et disque

Le cercle de centre O et de rayon r est un ensemble de points situés à une distance identique r de O, r>0.

Le disque de centre O et de rayon r est un ensemble de points M tels que OM < ou = à r

C’est à dire que :

  • si un point M est sur le cercle de centre O et de rayon r alors OM =r
  • si un point M est tel que OM =r alors M est sur le cercle de centre O et de rayon r
  • si A et B sont sur le cercle alors [OA]=[OB]=r et [AB] est le diamètre du cercle

3. Droites perpendiculaires

Les droites sont perpendiculaires si elles forment un angle droit (90°).

Si deux droites sont perpendiculaires, elles déterminent alors 4 angles droits.

Pour tracer un droite perpendiculaire
passant par un point (A) à une droite (d)

  1. utiliser une règle et une équerre,
  2. avec un compas et une règle:
    1. tracer un arc de cercle de centre A qui coupe une droite (d) en 2 points B et B’.
    2. tracer 2 arcs de cercle de centre B puis de centre B’ de même rayon et qui se coupent entre eux ( a l’opposé de A)
    3. la droite passant par A et par l’intersection des arcs de cercle de B et B’ est perpendiculaire à (d)

A noter qu’il n’y a qu’une seule droite passant par un point et perpendiculaire à une droite donnée.

La distance d’un point A a une droite (d) est la plus petite distance entre A et n’importe quel point de cette droite. Imaginons H la projection de A sur cette droite alors AH est perpendiculaire à (d)

Enfin quelque soit M appartenant à la droite (d), AMH est un triangle rectangle donc AM > AH

4. Droites parallèles (d)// (d’)

La distance entre 2 droites parallèles est constante.

2 droites perpendiculaires à une même droite (d) sont parallèles entre elles.

Pour tracer une droite parallèle à (une droite (d) passant par un point A:

  1. placer 2 point B et B’ sur la droite (d).
  2. tracer un arc de cercle de centre A et de rayon BB’ et un arc de cercle de centre B’ et de rayon AB.
  3. la droite passant par A et par le point d’intersection des 2 arcs de cercles est parallèle à (d).

Démontrer que c’est une droite:

  • Si AC+CB=AB alors A, B, C sont alignés
  • si (AB) //(AC) alors A, B, C sont alignés.

5. Tangente à un cercle

Une tangente à un cercle est une droite qui a un seul point commun avec le cercle.

La tangente à un cercle de centre C, en un point M situé sur le cercle, est la droite perpendiculaire en M au rayon [CM]

6. Médiatrice d’un segment

La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

La médiatrice est une droite qui est un axe de symétrie du segment. C’est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe en son milieu.

Tracer la médiatrice d’un segment [AB]:

  1. tracer 2 arcs de cercle de centre A et B qui se coupent en 2 points. Attention le rayon choisi doit être supérieur à AB/2.
  2. tracer la droite joignant ses 2 points.

Propriétés:

  1. si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c’est une médiatrice.
  2. Si une droite est une médiatrice d’un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu.
  3. si un point est sur la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment et la réciproque est vrai. MA=MB.
  4. si une droite passe par 2 points équidistants des extrémités d’un segment alors c’est la médiatrice de ce segment.
  5. Si une droite passe par un point équidistant des extrémités et est perpendiculaire à ce segment alors c’est la médiatrice de ce segment.
  6. La médiatrice d’un segment [AB] partage le plan en 2 demi plan Pa et Pb. Le demi plan Pa est l’ensemble des points M plus proche de l’extrémité A c’est-à-dire MA<MB. Le demi plan B c’est MB<MA.

7. Cercle circonscrit à un triangle

Le cercle circonscrit à un triangle est le triangle dans le cercle qui passe par les 3 sommets de ce triangle.

O est sur la médiatrice de [AB]. OA=OB. O est sur la médiatrice de AC donc OA=OC donc OA=OB=OC.

Le cercle de centre O et de rayon OA passe par les 3 sommets du triangle. De plus O est sur la médiatrice BC donc (AB), (BC) et (AC) sont concourantes en O.

La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités du segment.

Le centre du cercle circonscrit est équidistant des 3 sommets du triangle.

J’avais prévu de vous faire plein de post en Maths mais il faut avouer que Yvan Monka excelle dans le domaine et que je préfère vous renvoyer à son site plutôt que de refaire la même chose en moins bien (que ce soit les vidéos ou les cours)

https://www.maths-et-tiques.fr/

L’addition, voilà un sujet simple et complexe à la fois!

Déjà vous êtes vous déjà demandé pourquoi compte-t-on en base 10 ? évident on a 10 doigts!

Mais alors pourquoi les heures se comptent par 24 ?

Parce que ceux qui ont inventé ce système comptaient sur 3 phalanges des 4 doigts de la main (sans le pouce) et donc avec 2 mains à fait 24 phalanges.

Les mayas eux utilisaient un système mixte en base 5 et en base 20.. on comprend rapidement pourquoi.

 

Bref, avant de parler d’addition dans d’autre base je vais vous parler d’addition dans la base 10. Prenons par exemple: 19 + 7. Il vous parait évident que le résultat de cette addition est 26.

Mais parfois des élèves vont vous dire que cela fait 116. A votre avis que s’est il passé?

Et bien quelque chose comme cela:

  D U
1 9
+ 7
                 = 1 16

Ils ont additionné les unités avec les unités et les dizaines avec les dizaines. Or vous savez tous qu’il faudrait qu’une fois la dizaine complétée il faut la passer dans la “case” d’après ou la classe d’au dessus. Du coup, on obtient 26!

Donc, on est bien d’accord que dans une colonne les chiffres vont de 0 à 9.

Alors regardons comment faire dans une autre base.

Prenons par exemple l’addition en base 4. Les chiffres utilisés seront 0, 1, 2 et 3.

  D U
1 1
+ 3
                 =

 

1 + 3 = 4, quand on arrive à 4 c’est comme quand on arrive à 10 en base décimale. Donc, on ne va pas écrire 4 dans la case résultat des unités, on va ajouter un à la dizaine et zéro dans la case des unités puisque atteindre 4 veut dire avoir une dizaine complète.

Du coup on obtient:

  D U
1 1
+ 3
= 2 0

 

Si l’on refait l’exercice en base 5 par exemple, en additionnant: 3 + 4.

Je vous détaille mon raisonnement mais qui n’est pas à écrire ainsi sur la copie: 3 + 4= 7 = 5 (la dizaine en base 5) + 2

Sur la copie j’écris: 3 + 4 = 12 en base 5

Pour améliorer la compréhension je reprends un exemple en base 10:  6 + 8 = 14= 10 ( la dizaine)  +4

Donc il faut comprendre que quelque soit la base lorsque la somme de 2 chiffres ( ou plus) est supérieure ou égale à base considérée alors il faut le décomposer de manière canonique. Et qu’on ajoute alors une unité à la dizaine.

Reprenons l’exemple 19+ 7 = 26 en base 10. La difficulté de compréhension dans le changement de base vient du fait que dans notre système décimale la dizaine se traduit par 1 et 0 c’est à dire 10. Et qu’après on ajoute une retenue égale à 1 à la case supérieure. Cela induit la confusion puisqu’on associe le 1 de 9 +7 = 16 ( dans les unités) au 1 de la retenue. Or ils n’ont rien à voir.