Dans la continuité de mon post d’hier soir, je me suis dit que j’allais vous parler des démonstrations. En effet, je m’appuie encore une fois sur le partiel que j’ai repassé avec l’amie en question.

L’exercice était à peu près de cet ordre là:

  1. Si le nombre choisi est 7 quel est la solution de cet algorithme?
  2. .. (j’ai oublié la question)
  3. Montrer que quelque soit le nombre impair choisi le résultat est multiple de 4 et carré d’un nombre.

Pour résoudre la première question pas de problème, on suit l’algorithme sur scratch:

la réponse est 7

alors x=7 et y =7+2

donc x *y +1= 7 *(7+2)+1= 64

2…

3. Alors je rappelle ici un truc HYPER MAIS HYPER IMPORTANT au sujet des démonstrations

Pour montrer qu’une affirmation est fausse il suffit de trouver UN SEUL contre exemple.

Par contre, pour montrer qu’une affirmation est vrai alors il ne suffit pas de prendre 2 ou 3 exemple. Il faut prendre un cas général.

Si on dit que le nombre est impair alors on écrira soit n un nombre impair telque: n= 2k+1, k appartenant au entier naturel.

Pourquoi faire cette manipulation? Hé bien parce que en multipliant par 2 on est sur d’avoir un nombre pair et en lui ajoutant 1 on est sur que ça sera toujours un nombre impair comme résultat et ce quelque soit le nombre de départ choisi. Par exemple si k=5 alors n=11, si k=12 alors n=25

Donc dans notre cas n°1 n=7= 2*3+1

Si on exige un nombre pair alors on écrira n=2k (j’espère que vous n’êtes pas perdu)

Donc dans notre cas, à la question n°3, n=2k+1

n est la réponse que j’apporte à l’algorithme

alors x=n=2k+1

et y=n+2= 2k+1+2=2k+3

Alors

x*y+1= (2k+1)(2k+3)+1

= 2k*2k+2k*3+1*2k+1*3+1

=4k²+6k+2k+3+1

= 4k²+8k+4 ( je mets 4 en facteur)

= 4 (k²+2k+1) ainsi à ce stade on peut affirmer que le résultat est toujours un multiple de 4. Maintenant il faut reconnaître l’identité remarquable (a+b)²=a²+2ab+b²

=4 (k+1)² on démontre ici le résultat est toujours: et un multiple de 4 d’une part et le carré d’un entier d’autre part.

Cet après midi, j’ai aidé en maths une amie qui va passer le concours d’ici quelques jours. Pourquoi je vous en parle car il ne faut pas confondre type de problème (selon la typologie de Vergnaud) et procédures de résolution. Donc voici l’exemple de l’exercice:

J’achète 1,2 kg de pommes pour 1,02€.

a) combien coûte 2 kg de pommes?

b) combien de pommes on peut acheter avec 1,36€?

Donner une réponse en expliquant les procédures des élèves.

Premièrement face à un problème de ce type il faut qualifier le type de problème selon la théorie de Vergnaud. (point 7 du champs multiplicatif). Combien de variables? présence de l’unité?

Le problème proposé ici est un problème de proportionnalité simple sans présence de l’unité, plus précisément un quatrième de proportionnel. Il y a 2 grandeurs en jeu (kg et €). Ce type de problème est rencontré au cycle 3 et plus particulièrement en fin de CM1 et durant le CM2.

Pourquoi préciser cela? ça montre au correcteur que vous savez où vous en êtes d’un point de vu didactique, vous allez facilement observer que la difficulté rencontrée par les élèves est l’absence de l’unité qui leur faciliterait grandement la tâche.

a) Il existe plusieurs procédures pour résoudre ce problème:

Le tableau ci-après représente la modélisation du problème

kg1,22
1,02a (?)

L’élève va diviser 2 par 1,2 et multiplier par 1,02 ce qui donne a =1,7 €

L’élève calcule que pour aller de 1,2 à 2 il faut diviser 1,2 par 0,6 (1,2/2). Il procède donc de même sur la ligne des € et procède au calcul suivant: 1,02/0,6 = 1,7 €

L’élève va d’abord procéder à des additions +1,2 kg à la ligne des kg et +1,02€ à la ligne des € pour trouver un résultat qu’il pourra facilement traiter

kg1,22,4 (=1,2+1,2)3,6 (=2,4+1,2)4,86
1,022,04 (=1,02+1,02)3,06
(=2,04+1,02)
4,085,1

Ici on aboutit à 6, or 6/3 =2 la quantité recherchée.

Il ne reste plus à l’élève qu’à diviser 5,1/3=1,7€

Je ne développe par la question b) mais sachez que les deux premières procédures fonctionnent mais pas la troisième car 2,04<1,36

Les savoirs sont articulés autour de 3 pôles :

Il existe 3 facteurs importants de la démarche inventive :

  • Fluidité : capacité à donner le plus grand nombre de solutions différentes. Par exemple dans l’utilisation d’un objet.
  • Flexibilité : donner des réponses dans des registres différents
  • Originalité : rareté de la solution trouvée.

Flexibilité et originalité font parti du pôle qualitatif.

Le corps est au centre d’une éducation par les sens à travers différents champs artistiques.

Cette éducation met en jeu la personne dans sa globalité, une sollicitation au niveau symbolique, on parle d’expression socio-affective.

1 La symbolique

Elle permet à l’enfant de réinventer le réel. Le développement de l’intelligence puise dans les capacités de mise en jeu de l’imaginaire, de créativité et d’invention.

La dimension symbolique c’est :

  • L’imagination (l’iréel),
  • L’imaginaire (générer une idée)
  • La créativité (intellect),
  • L’invention (faculté de construire dans l’imaginaire).

Le processus de symbolisation favorise la construction de la personne car elle va d’un vers plusieurs possibles. Le possible choisi devient une condensation en 1 seul signifiant (image poétique).

La symbolisation engage la subjectivité du sujet et de son histoire : il exprime le monde tel qu’il le vit ou le perçoit. Il explore les différents niveaux du réel.

2 La dimension expressive

L’enfant va exprimer son être au monde, découvrir qu’il peut manifester des idées ou des rêves.

3  La dimension socio-affective

L’enfant explore le monde avec ses sens et le reconstruit à sa manière, il engage fortement son affectivité vis-à-vis de lui-même et des autres acex qu’il partage son émotion.

L’éducation artistique crée du lien social, c’est un domaine où les différences peuvent facilement être surmontées à travers l’acte de créer, de regarder, d’écouter  et de développer l’acceptation de la différence.