Le triangle

1. Propriétés du triangle

1.1 Le triangle en général

  • Dans un triangle, la longueur d’un côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
  • Si dans un triangle une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté.
  • Si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
  • Si dans un triangle un segment joint les milieux de deux côtés, alors sa longueur est la moitié de celle du troisième côté.

1.2. Le triangle rectangle

  • Si un point M est sur le cercle de diamètre [AB], alors le triangle AMB est rectangle en M
  • Si un triangle AMB est rectangle en M, alors M est sur le cercle de diamètre [AB].
  • Si un triangle est rectangle, alors le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit (Théorème de Pythagore).
  • Si dans un triangle le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore).
  • Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.  => penser au cercle circonscrit!!!!!

1.3. Triangle isocèle, triangle équilatéral

  • Si un triangle ABC est isocèle en A, alors les angles de sommets B et C sont égaux.
  • Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
  • Si un triangle est isocèle en A, alors sa médiane issue de A, sa hauteur issue de A, la médiatrice du côté opposé à A et la bissectrice de l’angle de sommet A sont confondues.
  • Si dans un triangle, la médiane issue du sommet A est aussi hauteur, alors ce triangle est isocèle en A.
  • Si dans un triangle, la hauteur issue du sommet A est aussi bissectrice, alors ce triangle est isocèle en A.
  • Si dans un triangle, la médiane issue du sommet A est aussi bissectrice, alors ce triangle est isocèle en A.
  • Si un triangle est équilatéral, alors il a trois angles égaux à 60°
  • Si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral.

2. Les droites remarquables du triangle

2.1. La hauteur

La hauteur d’un triangle est perpendiculaire à un côté et passe par le sommet opposé.

Les 3 hauteurs d’un triangle sont concourantes. Leur point d’intersection est l’ORTHOCENTRE.

Hauteurs et orthocentre en H

2.2. La médiane

Les médianes d’un triangle passent par le milieu des côtés et leurs sommets opposés. Le point d’intersection est le CENTRE DE GRAVITE.

Les médianes d’un triangle passent par le milieu des côtés et leurs sommets opposés. Le point d’intersection est le CENTRE DE GRAVITE.

G est le point d’intersection des médianes du triangle. AG = 2/3 AI

2.3. La médiatrice

La médiatrice est la droite perpendiculaire qui passe par le milieu d’un côté.

Le point d’intersection des 3 médiatrices d’un triangle est le centre du cercle circonscrit.

2.4. La bissectrice

Les 3 bissectrices dont concourantes. Leur points d’intersection est le centre du cercle inscrit.

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