Comment passer de la base 10 à une autre base?

Changer de base en maths c’est un peu comme comprendre la correspondance grapho-phonétique. On n’a pas l’impression qu’il y ait une grande logique ou en tout cas au premier abord ça ne saute pas aux yeux.

J’espère qu’après mon petit laïus sur le sujet vous y verrez plus clair.

Prenons un exemple:

293 ( base 10) , quelle est son écriture en base 3 par exemple?

  • Premièrement quand vous écrivez un nombre dans une base alors aucun des chiffres utilisés dans cette base ne peut être égale ou supérieur à celui de la base.

Donc en base 3, les chiffres utilisés sont 0, 1 et 2. Et en base 10, on a 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8 et 9..

Donc a votre avis en base 6??

Et bien on aura 0, 1, 2, 3, 4 et 5

Cela donne déjà une bonne indication si vous avez à vérifier la validité d’un nombre écrit dans une autre base.

 

  • Deuxièmement,  je vais vous apprendre ( à l’envers oui oui) comment passer d’une base à l’autre. Je dis bien à l’envers parce que le jour J il ne faut pas faire cela sur la copie. Mais chut personne ne corrigera votre brouillon. Et puis perso, cela m’a permis de comprendre.

Revenons à notre exemple: 293 ( base 10)=> ?(base 3)

Alors moi je commence par me faire un petit tableau comme cela:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 3^0=1

Comment je sais où je dois m’arrêter dans les puissances de 3? C’est parce que 729>293>243 donc 3^6>293>3^5.

Après, je démarre à gauche du tableau et  je me demande combien de fois j’ai 3^5 dans 293. Je l’ai 1 fois. Donc dans mon tableau:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1          
293-1×243=50

Une fois que j’ai enlevé 243 de 293 il ne me reste plus que 50.

Après je regarde 3^4, combien de fois j’ai 81 dans 50 ? et bien 0 car 81>50.  Donc dans  mon tableau, j’écris:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1 0        
293-1×243=50

je continue et je regarde 3^3? Combien de fois j’ai 3^3 dans 50? Je l’ai 1 fois. Dans mon tableau cela se traduit ainsi:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1 0 1      
293-1×243=50 50-1×27=23

Il me reste 23.

Combien de fois ai-je 3^2 dans 23? 2 fois car 9×2=18 et 18<23. Dans le tableau, je l’écris ainsi:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1 0 1 2
293-1×243=50 50-1×27=23 23-9×2=5

 

Puis je me demande combien de fois j’ai 3^1 dans 5, je l’ai 1 fois donc il me reste 2:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1 0 1 2 1  
293-1×243=50 50-1×27=23 23-9×2=5 5-1×3^1= 2

Enfin combien de fois ai-je 3^0 dans 2, je l’ai deux fois donc:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1 0 1 2 1 2
293-1×243=50             – 50-1×27=23 23-9×2=5 5-1×3^1= 2 2-2×3^0=0

 

Donc l’écriture en base 3 de 293 est 101212

 

Le jour du concours vous écrirez sur la copie :

293= 3^5×1+3^4×0+3^3×1+3^2×2+3^1×1+3^0x2.

Chercher à écrire un nombre de la base 10 dans une autre base dite n revient à le décomposer en puissance de n.

 

Entraînez vous par exemple avec :

2034 (base 10)=> ? base 2

2675 ( base 10) => ? en base 7

36( base 10) => ? base 2

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