Droite, segment, perpendiculaire, parallélisme & Co

1. Droite, demi droite et segment

Droite (AB) ou (d)

Demie droite d’origine 1 passant par B [AB)

Segment [AB]

2. Cercle et disque

Le cercle de centre O et de rayon r est un ensemble de points situés à une distance identique r de O, r>0.

Le disque de centre O et de rayon r est un ensemble de points M tels que OM < ou = à r

C’est à dire que :

  • si un point M est sur le cercle de centre O et de rayon r alors OM =r
  • si un point M est tel que OM =r alors M est sur le cercle de centre O et de rayon r
  • si A et B sont sur le cercle alors [OA]=[OB]=r et [AB] est le diamètre du cercle

3. Droites perpendiculaires

Les droites sont perpendiculaires si elles forment un angle droit (90°).

Si deux droites sont perpendiculaires, elles déterminent alors 4 angles droits.

Pour tracer un droite perpendiculaire
passant par un point (A) à une droite (d)

  1. utiliser une règle et une équerre,
  2. avec un compas et une règle:
    1. tracer un arc de cercle de centre A qui coupe une droite (d) en 2 points B et B’.
    2. tracer 2 arcs de cercle de centre B puis de centre B’ de même rayon et qui se coupent entre eux ( a l’opposé de A)
    3. la droite passant par A et par l’intersection des arcs de cercle de B et B’ est perpendiculaire à (d)

A noter qu’il n’y a qu’une seule droite passant par un point et perpendiculaire à une droite donnée.

La distance d’un point A a une droite (d) est la plus petite distance entre A et n’importe quel point de cette droite. Imaginons H la projection de A sur cette droite alors AH est perpendiculaire à (d)

Enfin quelque soit M appartenant à la droite (d), AMH est un triangle rectangle donc AM > AH

4. Droites parallèles (d)// (d’)

La distance entre 2 droites parallèles est constante.

2 droites perpendiculaires à une même droite (d) sont parallèles entre elles.

Pour tracer une droite parallèle à (une droite (d) passant par un point A:

  1. placer 2 point B et B’ sur la droite (d).
  2. tracer un arc de cercle de centre A et de rayon BB’ et un arc de cercle de centre B’ et de rayon AB.
  3. la droite passant par A et par le point d’intersection des 2 arcs de cercles est parallèle à (d).

Démontrer que c’est une droite:

  • Si AC+CB=AB alors A, B, C sont alignés
  • si (AB) //(AC) alors A, B, C sont alignés.

5. Tangente à un cercle

Une tangente à un cercle est une droite qui a un seul point commun avec le cercle.

La tangente à un cercle de centre C, en un point M situé sur le cercle, est la droite perpendiculaire en M au rayon [CM]

6. Médiatrice d’un segment

La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

La médiatrice est une droite qui est un axe de symétrie du segment. C’est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe en son milieu.

Tracer la médiatrice d’un segment [AB]:

  1. tracer 2 arcs de cercle de centre A et B qui se coupent en 2 points. Attention le rayon choisi doit être supérieur à AB/2.
  2. tracer la droite joignant ses 2 points.

Propriétés:

  1. si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c’est une médiatrice.
  2. Si une droite est une médiatrice d’un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu.
  3. si un point est sur la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment et la réciproque est vrai. MA=MB.
  4. si une droite passe par 2 points équidistants des extrémités d’un segment alors c’est la médiatrice de ce segment.
  5. Si une droite passe par un point équidistant des extrémités et est perpendiculaire à ce segment alors c’est la médiatrice de ce segment.
  6. La médiatrice d’un segment [AB] partage le plan en 2 demi plan Pa et Pb. Le demi plan Pa est l’ensemble des points M plus proche de l’extrémité A c’est-à-dire MA<MB. Le demi plan B c’est MB<MA.

7. Cercle circonscrit à un triangle

Le cercle circonscrit à un triangle est le triangle dans le cercle qui passe par les 3 sommets de ce triangle.

O est sur la médiatrice de [AB]. OA=OB. O est sur la médiatrice de AC donc OA=OC donc OA=OB=OC.

Le cercle de centre O et de rayon OA passe par les 3 sommets du triangle. De plus O est sur la médiatrice BC donc (AB), (BC) et (AC) sont concourantes en O.

La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités du segment.

Le centre du cercle circonscrit est équidistant des 3 sommets du triangle.

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