Cet après midi, j’ai aidé en maths une amie qui va passer le concours d’ici quelques jours. Pourquoi je vous en parle car il ne faut pas confondre type de problème (selon la typologie de Vergnaud) et procédures de résolution. Donc voici l’exemple de l’exercice:
J’achète 1,2 kg de pommes pour 1,02€.
a) combien coûte 2 kg de pommes?
b) combien de pommes on peut acheter avec 1,36€?
Donner une réponse en expliquant les procédures des élèves.
Premièrement face à un problème de ce type il faut qualifier le type de problème selon la théorie de Vergnaud. (point 7 du champs multiplicatif). Combien de variables? présence de l’unité?
Le problème proposé ici est un problème de proportionnalité simple sans présence de l’unité, plus précisément un quatrième de proportionnel. Il y a 2 grandeurs en jeu (kg et €). Ce type de problème est rencontré au cycle 3 et plus particulièrement en fin de CM1 et durant le CM2.
Pourquoi préciser cela? ça montre au correcteur que vous savez où vous en êtes d’un point de vu didactique, vous allez facilement observer que la difficulté rencontrée par les élèves est l’absence de l’unité qui leur faciliterait grandement la tâche.
a) Il existe plusieurs procédures pour résoudre ce problème:
- la procédure en appui sur le passage par l’image de l’unité ( ou la règle de trois -proscrit de le dire ainsi au concours).
Le tableau ci-après représente la modélisation du problème
| kg | 1,2 | 2 |
| € | 1,02 | a (?) |
L’élève va diviser 2 par 1,2 et multiplier par 1,02 ce qui donne a =1,7 €
- La procédure en appui sur la propriété de linéarité multiplicative
L’élève calcule que pour aller de 1,2 à 2 il faut diviser 1,2 par 0,6 (1,2/2). Il procède donc de même sur la ligne des € et procède au calcul suivant: 1,02/0,6 = 1,7 €
- La procédure en appui sur les propriétés de linéarité multiplicative et additive.
L’élève va d’abord procéder à des additions +1,2 kg à la ligne des kg et +1,02€ à la ligne des € pour trouver un résultat qu’il pourra facilement traiter
| kg | 1,2 | 2,4 (=1,2+1,2) | 3,6 (=2,4+1,2) | 4,8 | 6 |
| € | 1,02 | 2,04 (=1,02+1,02) | 3,06 (=2,04+1,02) | 4,08 | 5,1 |
Ici on aboutit à 6, or 6/3 =2 la quantité recherchée.
Il ne reste plus à l’élève qu’à diviser 5,1/3=1,7€
Je ne développe par la question b) mais sachez que les deux premières procédures fonctionnent mais pas la troisième car 2,04<1,36