1. Introduction

Bien que simple d’apparence la multiplication revêt des difficultés importantes pour l’élève.   Tout d’abord « qu’est-ce que la multiplication ? »  La réponse à cette question est immédiate la multiplication est 1 des 4 opérations. Elle  fournit  à partir de 2 nombres un autre nombre appelé produit.

Il  faut s’interroger sur la manière dont est conçu le produit. Prenons l’exemple du produit de 6 et 4 :  il peut s’agir du résultat de l’action du nombre 6 sur le nombre 4, afin d’obtenir l’addition de 6 fois le nombre 4: 4+4+4+4+4+4 ou de l’action du nombre 4 sur le nombre 6: 6+6+6+6. Le résultat est toujours 24.

 Il faut bien comprendre que selon le contexte 6 et 4 ne jouent pas le même rôle. Je peux avoir 4 paquets de 6 carottes ou 6 paquets de 4 carottes. La répartition est différente, les actions sont différentes mais le résultat est le même. On parle de commutativité : a x b = b x a.L’ ordre des nombres n’importe pas pour le produit

2. Symbolique et langage

Pour comprendre cette difficulté, je prendrai pour exemple  un calcul mental du produit de 15 x 2.

Comment peut-on dicter 15 x 2 ? Il s’avère que  ce calcul peut se dire de  trois manières différentes : «quinze fois deux » ; « deux fois quinze» et « quinze multiplié par deux ».

Selon la manière dont est énoncé le calcul en particulier « deux fois quinze », les réussites des élèves ne sont pas identiques…

Ces trois traductions sont valides  mais chaque énonciation est porteuse d’un sens qui facilite ou non l’obtention du résultat.

Par exemple:

– « quinze fois deux » exprime  l’action du nombre 15 sur le nombre 2,  le multiplicande -nombre sur lequel on agit– est 2 et que le multiplicateur -nombre qui agit ou  le nombre de fois– est 15,

– « deux fois quinze » exprime  l’action du nombre 2 sur le nombre 15,le multiplicande -nombre sur lequel on agit– est 15 et que le multiplicateur -nombre qui agit ou  le nombre de fois– est 2. Les les élèves comprennent vite qu’il s’agit du double de 15 les conduisant facilement au résultat.

– « quinze multiplié par deux» traduit la multiplication de 15 et de 2. C’est une expression « neutre » qui n’induit aucun  multiplicateur. C’est au calculateur de faire ensuite la traduction la plus appropriée (en « deux fois quinze »).

 

Il faut ainsi utilisé un parler cohérent et avoir conscience que pour la table de 5 par exemple, il faut dire/ écrire:

5 x 1 : cinq multiplié par un

5 x 2: cinq multiplié par deux ..

ou

1 x 5 : cinq fois 1 ( je compte 5 fois le nombre 1)

2 x 5 : cinq fois 2 ( je compte 5 fois le nombre 2)

Et il faut être très clair dans cet enseignement tant que la commutativité n’est pas installée.

 

Par exemple pour 7 x 9, il est possible d’aider les élèves à s’y retrouver en leur disant :
– combien a-t-on d’éléments ?  9
– combien de fois les multiplie-t-on ?  7
– montre-t-on avec un geste les groupements de 9 x 7?

3. Les propriétés en jeu dans la multiplication

Propriétés de la numération décimale:

• la décomposition du nombre sous forme canonique: abc = a x 100 + b x 10 + c x 1
• la valeur d’un chiffre en fonction de sa place dans l’écriture du nombre,
• l’échange de 10 unités  par 1 dizaine

Propriétés propres à la multiplication :

• distributivité de la multiplication par rapport à l’addition:  a x ( b + c) = (a x b) + ( a x c) ou a (b + c)= ab + ac et idem sur la soustraction
• commutativité : a x b = b x a. Il est possible d’intervertir les 2 termes de l’opération sans en changer le résultat. Ceci peut avoir une influence sur les procédures utilisées par les élèves.
• associativité (a x b)x c= a x (b x c)
• élément neutre : 1 x a = a x 1 = a,  le résultat d’une multiplication d’un nombre par 1 est toujours égal à ce nombre.
• le rapport d’égalité si a x c = b x c alors a = b
• l’élément nul : a x 0 = 0 x a = 0

Attention ces propriétés ne font pas l’objet d’un apprentissage particulier à l’école primaire!!!

Autres propriétés: 

• règles de multiplications par 10, 100, ..
• les tables d’additions et la technique de l’addition posée

4. L’algorithme de la multiplication

Alors, autant le dire de suite à chaque pays sa manière de poser une multiplication ou presque.

Chez nous, elle est posé de la manière suivante:

Il faut comprendre qu’à chaque ligne correspond un rang du système décimal. Sur la première ligne après la première barre horizontale, on écrit le produit du multiplicande ( 2134)  avec le chiffre de l’unité (6) du multiplicateur (306) et ainsi de suite.

Il faut bien faire attention à ne pas  dire qu’il n’y a rien pour les lignes suivantes.

Car la seconde ligne va représenter la ligne du produit de la dizaine du multiplicateur avec le multiplicande, c’est pourquoi on « se décale d’une case » et qu’on ajoute un zéro. Cette manipulation n’a rien d’arbitraire mais représente la dizaine.

On fait de même avec la centaine et ainsi de suite.

Laisser des trous induit des erreurs de placements des chiffres.

Cette technique  s’appuie sur la propriété de distributivité de la multiplication.  

http://www.ac-grenoble.fr/savoie/pedagogie/docs_pedas/multiplication_technique/per_gelosia.pdf

 

A retenir: la compréhension de la technique usuelle de la multiplication nécessite donc la coordination de plusieurs types de connaissances ( tables, retenue, addition, disposition, règle des zéros) qui correspondent à certains types d’erreurs possibles pour la multiplication :

•  Disposition incorrecte au départ,
•  Disposition incorrecte aux autres lignes (multiplication à 2 ou 3 chiffres)
• Tables de multiplication ne sont pas parfaitement mémorisées
• Oubli des zéros (règle des 0 : passage du résultat de la multiplication d’un nombre par 3 à la multiplication de ce même nombre par 20, par 200)
• Multiplication des retenues
• Oubli, gestion des retenues
  –> numération décimale pour la gestion des retenues, dans les multiplications intermédiaires puis dans l’addition finale
•  La distributivité de la multiplication sur l’addition (45 × 7 = 5 × 7 + 40 × 7). Cela consiste à multiplier d’abord 5 par 7 et 40 par 7 puis additionner les deux résultats
• Ordre de calcul à respecter

5. Les programmes

5.1 Au cycle 2

Le sens et l’automatisation se construisent simultanément.

Les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sont étudiées à partir de problèmes qui contribuent à leur donner du sens, en particulier des problèmes portant sur des grandeurs ou sur leurs mesures.

Compétence 

Modéliser
» Utiliser des outils mathématiques pour résoudre des problèmes concrets, notamment des problèmes portant sur des grandeurs et leurs mesures.
» Réaliser que certains problèmes relèvent de situations additives, d’autres de situations multiplicatives, de partages ou de groupements.
[..]
Domaines du socle : 1, 2, 4

Nombres et calculs

 

Des résolutions de problèmes contextualisés : [..] le travail de recherche et de modélisation sur ces problèmes permet d’introduire progressivement les quatre opérations (addition, soustraction,
multiplication, division).
L’étude de relations internes aux nombres : [..] décomposer/recomposer les nombres additivement, multiplicativement, ..

Attendus de fin de cycle
» Comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer, comparer.
» Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers.
» Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul.
» Calculer avec des nombres entiers.

Désignation du nombre d’éléments de diverses façons : écritures additives ou multiplicatives, écritures en unités de numération, écriture usuelle

• Problèmes relevant des structures multiplicatives, de partages ou de groupements (multiplication/division).

• Modéliser ces problèmes à l’aide d’écritures mathématiques.

  • Sens des symboles +, −, ×,

5.2 Au cycle 3

Le cycle 3 vise à approfondir des notions mathématiques abordées au cycle 2, à en étendre le domaine d’étude, à consolider l’automatisation des techniques écrites de calcul introduites précédemment (addition, soustraction et multiplication)

Compétence

Modéliser
Utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne.
Reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité. [..]

Nombres et calculs

Connaître et utiliser diverses désignations d’un nombre décimal (fractions décimales, écritures à virgule et décompositions additives et multiplicatives)

Calculer avec des entiers et des décimaux => Connaître et mettre en œuvre un algorithme de calcul pour effectuer : posé pour l’addition, la soustraction, la multiplication de nombres entiers ou décimaux la division euclidienne d’un entier par un entier la division d’un nombre décimal (entier ou non) par un nombre entier.

Calcul posé
Connaître et mettre en œuvre un algorithme de calcul pour effectuer : posé pour l’addition, la soustraction, la multiplication de nombres entiers ou décimaux
la division euclidienne d’un entier par un entier la division d’un nombre décimal (entier ou non) par un nombre entier

Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul => Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations.  Sens des opérations.
et problèmes à une ou plusieurs étapes relevant des structures additive et/ou multiplicative.

6. Progression

 

CE1 : on s’appuie sur l’addition itérée pour introduire la multiplication.

C’est la découverte de l’écriture multiplicative.  Fin de CE1 table de 2, 3, 4 et 5, les doubles, les moitiés. Construction de la technique opératoire de la multiplication. On privilégie la multiplication de nombre  à 2 ou 3 chiffres par un chiffre.

 

CE2: redécouverte de la multiplication .

• Décomposition d’un produit de facteurs en laissant un facteur inchangé et en décomposant l’autre sous la forme  d’une somme ou d’un produit. Par exemple: 8 x 14 = (8 x 10 ) + (8 x 4), 
• Composition de deux produits  ayant un facteur commun
• Extension de la règle du zéro pour calculer. 6 x 50 or  5 x 10 =50  et 5 x 6 =30 donc 6 x 50 = 30 x 10 = 300

 

CM1: les élèves découvrent la technique usuelle de la multiplication et approfondissement

• La table de multiplication (table de Pythagore)
• Numération décimale pour la gestion des retenues, connaitre la position de chaque chiffre à la fois dans la multiplication intermédiaire et finale.
• Règle des zéros. Passage du résultat de la multiplication d’un nombre par 3 à la multiplication d’un nombre par 30, 300..
• Distributivité  de la multiplication sur l’addition.

Au cycle 3, proposer des situations qui fassent raisonner les élèves sur la linéarité des opérateurs multiplicatifs mais également sur les problèmes de proportionnalités.

 

CM2: multiplication d’un décimal par un entier.

 

7. La typologie de Vergnaud

7. 1 La comparaison ( multiplicative) de grandeurs.

Deux états de même grandeur. Un état sert de référent pour l’autre. La question peut porter sur le référent, le référé ou la relation scalaire. La comparaison scalaire qui porte sur une relation multiplicative verbalisé en «  fois plus » ou « fois moins » induit le concept d’addition. Attention aux inducteurs contre productif.

Par exemple:

On cherche le référent : Il y a 5 fois plus de chaises à la cantine que dans la classe. Il y en a 25 dans la classe. Combien y a-t-il de chaises à la cantine ?

On cherche le scalaire: Marc a 45 billes et sa sœur en a 9. Sa sœur en a combien de fois moins que lui ?

On cherche le référé: Mon frère a 24 billes. Il en a 3 fois moins que moi. Combien ai-je de billes ?

7.2. La proportionnalité simple avec présence de l’unité

La proportionnalité se définit par l’existence d’un rapport constant entre deux nombres. Un rapport scalaire (c’est à dire une multiplication) est un nombre sans unité qui exprime la relation entre deux mesures de grandeurs. Un rapport fonctionnel se définit par une relation multiplicative entre deux domaines de grandeurs différents. On dit qu’un rapport fonctionnel est explicite lorsque l’énoncé fait référence à l’unité et qu’il est implicite lorsque l’énoncé ne fait pas référence à l’unité.

Ces problèmes se résolvent  avec une multiplication ou une division, permettant de trouver le produit ou le quotient des deux données.

Astuce: être vigilant quand aux nombres de grandeurs en jeu. Cela aide à trouver plus facilement le type de problème.

7.2.1 Multiplication

Dans ce cas, on recherche nombre total d’éléments.  Il y a 2 grandeurs en jeu.

Les problèmes sont modélisés par b x c =?

1 est clairement la référence à l’unité.

Par exemple:

a. Un dictionnaire coûte 38€. Combien coûtent 8 dictionnaires ?  = > les 2 grandeurs sont : le dictionnaire et le prix
b. Le prix d’un mètre de fil coûte 12€. Combien coûtent 4,5 mètres de fil ? = > les 2 grandeurs sont : le mètre de fil et le prix

7.2.2 Division partition ou la recherche de la valeur d’une part

Il y a 2 grandeurs en jeu. 

On cherche à connaitre la valeur de la part c’est à dire d’une unité.

La modélisation est différente selon que les grandeurs sont discrètes ou continues.

Grandeurs discrètes: d = (b x c) + r  avec  r positif ou nul mais toujours inférieur à b et c est le nombre recherché dans N

Grandeurs continues: d = (b x c), c (?) dans R ou D

 

Par exemple:

1. Trois enfants se partagent 27 bonbons. Ils en prennent tous le même nombre. Combien chacun a-t-il de bonbons ? => les 2 grandeurs sont: les enfants et les bonbons. La valeur de la part est : le nombre de bonbons qu’à chaque enfants. L’opération a effectué est une division.
2. Sept personnes ont participé à un repas. Le prix total à payer est de 126 euros. Ce total doit être partagé équitablement entre les convives. Combien chaque personne doit-elle payer ? =>  Les 2 grandeurs sont: les personnes et le prix. La valeur de la part est : le prix payé par personne. L’opération a effectué est une division.
3. L’achat de 12 dictionnaires identiques a coûté 372 €. Quel est le prix d’un seul dictionnaire ? les  2 grandeurs sont: les dictionnaires et le prix. La valeur de la part est : le prix d’un dictionnaire. L’opération a effectué est une division.

7.2.3 Division quotition ou la recherche du nombre de parts oud e groupements.

Il y a 2 grandeurs en jeu. 

On cherche à connaitre le nombre de part

La modélisation est différente selon que les grandeurs sont discrètes ou continues.

Grandeurs discrètes: d = (b x c) + r   et b est le nombre recherché dans N

Grandeurs continues: d = (b x c), b(?) dans R ou D

Par exemple:

1. Une fermière range 48 œufs dans des boîtes de 6 œufs. Combien de boîtes d’œufs remplit-elle ? => les 2 grandeurs : les œufs et les boites d’œufs
2. Pendant ses vacances, Jean a fait 96 photos. Pour les ranger, il les met dans son album en mettant toujours 8 photos par page. Combien de pages d’album remplira-t-il avec toutes ses photos ?
3. Un électricien a acheté du câble à 3€ le mètre. Il a payé 270 €. Quelle longueur de câble a-t-il acheté ?

7.3. La proportionnalité simple sans présence de l’unité

7.3.1. Quatrième de proportionnelle

Il y a 2 grandeurs en jeu. 

Ces problèmes faisant intervenir trois données, ils ne peuvent être résolus directement par une multiplication ou une division. Le vaste champ de la proportionnalité ouvre à des procédures de résolution diverses, selon le contexte, la nature des données numériques, le niveau de représentation et/ou de connaissance de chacun.

Ce type de problème se modélise souvent tel que : ? = (b x c) x 1/a

Par exemple:

4 albums coûtent 6 €. Combien coûtent 10 albums ?

Pour une séance de géométrie, il faut 4 feuille de bristol pour un groupe de 3 élèves.La classe compte 21 élèves. Combien le maître doit-il prévoir de feuilles de bristol ?

Des enfants reçoivent des pochettes contenant 2 grandes images et 5 petites. Armelle a déjà reçu 6 grandes images. Combien a-t-elle reçu de petites images ?
Pour son anniversaire Stéphanie prépare une boisson avec du sucre et des oranges : pour 7 oranges il faut 12 morceaux de sucre. Elle utilise 35 oranges. Combien lui faut-il de morceaux de sucre ?
4 dictionnaires identiques pèsent 10kg. Combien pèseraient 14 dictionnaires?

7.3.2 Comparaison de proportions

Ces problèmes ont pour caractéristique de comporter des mots inducteurs pouvant être une aide (fois) ou un obstacle (plus ou moins)

Il a 2 grandeurs en jeu. 

 

7.4 La proportionnalité simple composée

Dans ce type de situation, il y a 3 grandeurs (X, Y et Z) en jeu et une grandeur varie proportionnellement à une autre qui varie proportionnellement à une troisième. Les problèmes faisant intervenir des conversions d’unités relèvent aussi de cette catégorie.

La problème se centre sur la recherche de b ou de d. Dans ces problèmes,  il existe deux relations et cela exige souvent plusieurs calculs

Recherche de d par exemple:

1. Un train a 5 wagons. Chaque jour il transporte 30 passagers par wagon. Combien aurat-il transporté de passagers au bout de 10 jours ?
2. Un train a 15 wagons. Chaque jour il transporte 44 passagers par wagon. Combien aurat-il transporté de passagers au bout de 10 jours ?
3. Chaque jour un train de marchandises composé de 46 wagons transporte 12 tonnes de sable par wagon. Quelle est la quantité de sable transportée en 14 jours ?

 

Recherche de b  par exemple:

1. Amélie a acheté plusieurs colliers de perles pour un prix total de 135 €. Une perle coûte 3€ et chaque collier contient 15 perles. Combien de colliers Amélie a-t-elle achetés ?
2. Pour faire de la confiture on a récolté 15 paniers de mûres. Il faut 3 verres doseurs de sucre par panier de fruits. Le poids total de sucre nécessaire est de 33,750 kg. Quelle masse de sucre le verre doseur contient-il ?

7.5 La proportionnalité double

Dans ce type de situation, il y a 3 grandeurs en jeu et une grandeur varie proportionnellement aux 2 autres  qui sont indépendantes.

On recherche a ou d.

Recherche de a par exemple:

1. Un rectangle a 6 carreaux de large. Ce rectangle est composé de 72 carreaux. Combien a-t-il de carreaux sur la longueur ?
2. Franck doit choisir son vélo selon la couleur et la dimension du cadre. Il a 35 possibilités de choix. Il y a cinq dimensions de cadres différents. Combien y a-t-il de couleurs différentes ?
3. Pour décorer son sapin, Lucas a 36 boules qui différent uniquement par la couleur et la taille. Ces boules ont 9 tailles différentes. Pour chaque taille, toutes les couleurs sont possibles. Combien a-t-il de tailles différentes ?

Recherche de d par exemple:

1. il y a 5 garçons et 4 filles à la fête de Jules. Combien y a-t-il de couple possible pour la danse ?
2. Julie a 3 tee-shirt et 4 pantalons différents. De combien de manières différentes peut-elle s’habiller ?
3. Tom veut fabriquer des petits bateaux avec une coque et une voile. Il a le choix entre 8 formes pour la coque et 6 couleurs pour la voile. Combien de bateaux différents peut-il construire ?

Autre cas

Recherche de c par exemple:

1. Dans une famille, les enfants mangent tous la même quantité de brioches chaque jour. Les 3 enfants mangent 48 brioches en 8 jours. Combien de brioches chaque enfant mange-t-il  chaque jour ?
2. Le chien Gribouille a vécu 1 million de minutes. Quel anniversaire vient-il de fêter dernièrement ?
3. Au cours de la mission Apollo 12, les astronautes Conrad et Bean ont effectué un séjour de 1 890 minutes sur la lune. Exprime cette durée en jours, heures et minutes. ?

 

8. Les variables didactiques

Le nombre de grandeurs mises en jeu par les données de l’énoncé ( 1, 2 ou 3) .

Le type de relation entre les domaines de grandeurs.

Les valeurs numériques à choisir de telles sortes que les opérations en jeu s’inscrivent dans les IO:

• CE2: diviseur à un chiffre
• CM1: multiplication d’un nombre décimal par un entier, division euclidienne 2 entiers, division décimale 2 entiers,
• CM2: multiplication de 2 entiers ou décimaux et division d’un décimal par un entier.

Les relations arithmétiques entre les nombres favoriseront ou pas certaines procédures de calcul ou le recours ou calcul mental.

 

9. Les procédures

9.1 Proportionnalité simple de multiplication

 

1. Les données sont de petits nombres:
   • procédure utilisant le support d’un dessin ou d’un schéma
   • procédure additive iterée
   • procédure multiplicative- calcul mental
2. les données sont un petit et un grand nombre:
   • procédure d’addition itérée en utilisant le regroupement terme à terme ( arbre de calcul)
   • procédure multiplicative
3. Les données sont de grands nombres:
   • procédure dessin ou schéma + quelque  chose
   • procédure itérative additive
   • procédure multiplicative.

9.2. Problème de double proportionnalité

Ecriture de tous les couples possibles: contrôle exhaustif

Résolution par un schéma

Résolution par un tableau à double entrée

Résolution par un raisonnement

 

9.3 Proportionnalité simple partition ou quotition ou PS4 ( quatrième de proportionnel)

Procédures imagées : dessin figuratif ou dessin schématisé.

Procédures itératives fondés sur l’addition ou la soustraction

Procédures multiplicatives : résoudre a * x = b:

• poser une multiplication à trou (délicat!!)
• essais de multiples successifs du diviseur: 12 x 10= 120, 12 x 12= 144 ( fastidieux!)
• essais par approches successives ( ajustements)
• procédures mixtes: quotients partielles au hasard, multiple de 10, 100
• utilisation de la division

 

10. Les erreurs caractéristiques

Quand les nombres sont entiers:

• erreurs de choix de la procédures de résolution,
• erreurs dans l’exécution de la procédure choisie ou l’interprétation
• erreurs dans le calcul

Quand les nombres sont décimaux:

• erreurs d’interprétation de l’énoncé ( mot inducteur)
• erreurs quand il y a recours au quotient décimal
• erreurs additions de décimaux.

 

 

pour finir :

BRISSIAUD_Operations_a_l_ecole

cas d’école

Les_types_de_problemes_multiplicatifs

proprietes

Typologie_des_problemes_additifs_et_multiplicatifs_Vergnaud

 

 

http://jean-luc.bregeon.pagesperso-orange.fr/Page%2012.htm