1. Disciplinaire

1.1 Suites de nombres proportionnelles

Deux suites de nombres réels ayant le m^me nombre de termes, sont proportionnelles si on peut passer de chaque terme de la première au terme correspondant de la second par un même opérateur multiplicatif.

a	2	4	6	8	10
f(a)	10	20	30	40	50

Ici, pour passer de la première ligne à la seconde, on a utilisé x 5

Cela s’exprime par f : a → a x 5 ou f(a) = 5a.

C’est une fonction linéaire. Elle passe par l’origine !!!

1.2 Les propriétés

• Propriétés additives des fonctions linéaires :

• • f(x1+x2) =f(x1+x2) ou y1+y2= ax1+ax2= a(x1+x2)
  • f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)

• Propriété multiplicative des fonctions linéaires ou propriété d’homogénéité :

• • f(kx)=k f(x) ou ky1= k (ax1)

• Propriété des rapports égaux :

• • y1/x1=y2/x2=y3/x3=…

2. Didactique

Notions à travailler en spiralaire au travers de situations variées comme : (surtout au C3)

• lire, interpréter et construire un tableau de proportionnalité,
• résoudre des problèmes de proportionnalité variés en utilisant notamment le passe à l’unité.
• construire, lire et interpréter un graphique.

2.1 Approche numérique

Compétences à acquérir :

• Découvrir et définir ce qu’est une situation de proportionnalité,
• Connaître le coefficient de proportionnalité
• Connaître la propriété de linéarité sous ses deux aspects.
• Comprendre et utiliser la règle de 3,
• Résoudre des problèmes,

2.2 Approche graphique

Après avoir approché la proportionnalité par la lecture, l’analyse et la résolution de problème, il faut analyser les différentes représentations graphiques puis créer des tableaux de proportionnalité.

La proportionnalité doit être traitée dans les 3 domaines :

• grandeurs et mesures en premier,
• nombres et calculs en second,
• espace et géométrie en troisième,

3. Progressivité des apprentissages

En CM1, le recours aux propriétés de proportionnalité est privilégié dans les cas de problèmes mettant en jeu des nombres entiers. Il faut expliciter les propriétés. La découverte des différentes procédures est progressive : additive, multiplicative, quatrième de proportionnelle puis coefficient de proportionnalité.

En CM2, proposer des situations impliquant des échelles, des vitesses constantes ou des pourcentages. Et progressivement construire le sens de moyenne.

4. Les procédures

4.1. En appui sur la linéarité.

• Procédure sur la seule propriété multiplicative (rapport scalaire) de la linéarité .Attention, elle est difficile à envisager en primaire si elle fait intervenir un décimal.
• Procédure additive et multiplicative : dans certains cas. Quand on les utilise on combine les données entre elles mais il y a toujours correspondance des valeurs.

4.2 Passage par l’image de l’unité.

Ou la règle de 3. On prend appui sur la propriété multiplicative de la linéarité.

4.3 Coefficient de proportionnalité ou rapport constant

C’est le raisonnement le moins naturel. Par exemple : 15€=> 100 frcs ( rapport x1,5)

5. Variables didactiques

• la relation entre les nombres donnés ou des rapports de même grandeurs,
• nombres de couples donnés,
• contexte du problème,
• familiarité des élèves avec la situation évoquée.

6. Difficultés

L’élève ne reconnaît pas la situation de proportionnalité => il faut revoir le sens de la proportionnalité en travaillant la reconnaissance de situations proportionnelles ou non.

L’élève utilise toutes les données du problèmes ou choisit un calcul=> question du sens , représentation schématique pour conceptualiser.

L’élève ne parvient pas à choisir la bonne procédure : demander à l’élève pour ce même problème d’utiliser plusieurs procédures. L’interroger sur la pertinence de chacune.

L’élève ne parvient pas à organiser les données=> Reprendre les compétences de calcul mental décisives pour mettre en relation les nombres. Aider l’élève à comprendre à quoi les données correspondent.

L’élève est induit dans son raisonnement par le le mot augmentation/réduction qui renvoie à la notion d’addition/ soustraction.

L’élève n’a pas de regard critique sur son résultat ou sa démarche => apprendre à estimer un résultat.