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Un système de numération est caractérisé par un ensemble de symboles (chiffres) et de procédés d’assemblage de ces symboles.

On distingue trois types de numérations:

  • les numérations figurées (jetons, marque au sol, ..)
  • les numérations orales: dépendantes de la numérations figurées ou écrites,
  • les numérations écrites (utilisation d’un nombre limité de symboles)

Les systèmes de numération additifs:

  1. le système égyptien, les chiffres égyptiens  ont la forme de hiéroglyphes,
  2. le système romain, présente une particularité due au fait qu’un chiffre d’un signe supérieur au suivant placé à gauche se retranche,

L’inconvénient de ses systèmes de numération est d’une part que pour l’écriture d’un grand nombre, il faut écrire un grand nombre de symboles. Et que pour les nombres les plus grands, il aura fallu inventer de nouveaux symboles. Et d’autre part, les calculs sont difficiles à effectuer.

Les systèmes de numération de type positionnel:

Plusieurs systèmes de numération ont été conçu en attribuant aux symboles une valeur différente selon leur forme mais également selon le rang occupé dans l’écriture du nombre:

  1. le système babylonien, en base 60, s’écrit à partir de symbole représentant l’unité, la dizaine puis la quantité 60. Une dizaine écrite en première position se lira 601, en deuxième position se comprendra comme 602….Le problème de ce système de numération est l’absence de zéro pour marquer les vides. Par exemple: le décompte des heures, minutes et des secondes en base 60 est un héritage du système de numération babylonien. 1h =60 min, 1min=60 sec.. Pour ce qui est du nombre d’heures dans une journée, certains disent que les babyloniens comptaient sur les phalanges des 4 doigts (hormis le pouce), ainsi on a 12 phalanges par main soit 24 h en tout ( mes élèves adorent quand je le leur explique).
  2. le système maya, en base 20, présente une écriture lourde malgré la présence du zéro car il n’existe que 3 symboles.
  3. le système binaire, en base 2, n’emploie que des 0 et des 1.
  4. le système de numération décimale, en base 10, emploi des symboles, des chiffres allant de 0 à 9.

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La valeur d’un signe dépend de son rang dans l’écriture du nombre, l’ordre est stable.

La méthode de groupement est régulière: on groupe par 10 pour passer au rang supérieur,

Le nombre de signes différents (0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9) qui permet l’écriture d’un nombre est égale à la base (10).

Un des signes a pour fonction de signaler l’absence de groupement à un certain rang: c’est le zéro.

 

Un nombre est composé de chiffre, ainsi tout nombre en base 10 s’écrit:

abcdefgh (base 10)= a*107+b*106+c*105+d*104+e*103+f*102+g*101+h*100

 

A l’oral, nous avons besoin de 23 mots nombres pour exprimer les chiffres jusqu’à 999: zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize,vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, cent

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Les nombres permettent de:

  • représenter les quantités: c’est l’aspect cardinal du nombre,
  • représenter une place, un rang, une position: c’est l’aspect ordinal du nombre,
  • anticiper les résultats.

Il est possible de « percevoir » les quantités, de les comparer ou de les faire varier sans avoir recours aux nombres et cela:

  • visuellement (constellation de points) ,
  • distribution (l’élève distribue toutes les cartes en sa possession à ses camarades et regarde ce qu’il reste)
  • en établissant une correspondance terme à terme entre les éléments des collections. On  dit alors que les collections sont équipotentes si elles ont le même cardinal.

Ces procédures, dites non numériques, ont leurs limites. Elles ne permettent pas la mémorisation, ni la communication de la quantité.

 

Point vocabulaire:

Collection: est un ensemble d’éléments regroupés ensemble. Par exemple: une collection de 5 poupées.

La collection peut être témoin ou de référence, si c’est celle qui sert de point de départ au raisonnement. Par exemple: le PE demande à l’élève de chercher juste ce qu’il faut d’assiettes pour le repas des poupées. La collection de référence est composée par les poupées.

 

Chaîne numérique ou bande numérique: c’est une succession ordonnée de l’ensemble des entiers naturels.

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Les principales procédures utilisées par les élèves de cycle 1 sont :

Procédure pour trouver une quantité:

  • comptage ou recomptage: mémorisation de la suite orale des nombres et dénombrement en utilisant la suite orale.
  • surcomptage (lorsque l’on associe deux collections) l’enfant part du résultat d’une des collections et commence à compter l’autre. Comptage en avant.
  • décomptage (trouver les nombres qui restent)
  • double comptage.

 

Le troisième axe sur lequel il est nécessaire de travailler avec les élèves est la comparaison de la quantité: qui de la collection A ou B à le plus d’objet, complète la collection A pour avoir autant d’objet que dans la collection B.

Procédure pour comparer les quantités:

  • correspondance terme à terme ou par paquet (PS ou MS),
  • dénombrer par subitizing (instantané) ou par comptage de un en un (GS),

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La numération est la clé de voûte du cycle 2. Sa compréhension conditionne les autres apprentissages, les techniques opératoire, la compréhension du nombre fractionnaire ou décimal abordé au cycle 3.

 

Le CP marque le passage  du nombre  outil (utilisé comme une simple étiquette pour mesurer un quantité ou donner un rang) au nombre objet d’étude (l’étude du nombre pour lui même et la compréhension du système décimal).

Ce passage est marqué par 3 étapes:

  1. l’approche globale basée sur l’oral (file numérique, .. ) : l’élève se situe alors dans le registre verbal, il mémorise la suite orale des nombres, puis sur la file numérique il établit un lien entre le mot-nombre dit et la désignation chiffré ou symbolique du nombre.
  2. l’aspect algorithmique des écritures chiffrées : l’élève comprend qu’il n’existe que 10 chiffres pour écrire tous les nombres et que la valeur d’un chiffre est donné par sa position dans le nombre
  3. le groupement par 10 et les échanges. Par exemple : le jeu du banquier. 

L’écriture en lettre est introduite progressivement et seulement lorsque les élèves savent lire les écritures chiffrées correspondantes. Au CE1, les connaissances sur les nombres entiers sont consolidées et le champs numérique est étendu. Les compétences en calcul sont accrues.

 

La relation quantité -écriture en chiffre

  • Le codage, c’est à dire le passage d’une quantité à une écriture chiffrée, peut être réalisé par l’élève selon les procédures suivantes:
  1. représenter la quantité d’objets par un groupement successifs réguliers de 10.
  2. représenter la quantité par un objet choisi à l’avance. Par exemple: 1 groupe de 10 =1 jeton rouge, 10 jetons rouge =1 jeton bleu..
  • Le décodage, c’est à dire le passage de l’écriture chiffrée à la quantité, peut être réalisé sous la forme d’une collection dont le nombre d?objets est donné par son écriture en chiffre: boules, carnet de timbres..

 

A l’issu du cycle 2, l’élève doit avoir compris les principes de

  • régularité des groupement successifs par 10,
  • égalité : 1d=10 u et 10 d=1 c,
  • positionnel du nombre, c’est à dire que la valeur d’un chiffre est donnée par la place qu’il occupe dans le nombre,
  • absence d’unité, de chiffre est marqué par le zéro,
  • décomposition.

La comparaison de nombres entiers

on distingue deux procédures:

  • la procédure experte: a et b deux nombres différents, alors le plus grand est celui qui à le plus de chiffres. Si a et b ont le même nombre de chiffres, l’élève regarde le chiffre le plus à gauche de chaque nombre et les compare, etc…
  • la procédure personnelle:  l’élève se représente les quantités en faisant des groupements de 10, de 100 ou de 1000) ou l’élève a un raisonnement du type comparaison des milliers puis des centaines..

Les erreurs que  les plus fréquentes sont :

  • 56>225 , l’élève a juste comparé le premier chiffre sans s?intéresser au nombre de chiffre du nombre,
  • 51<29, l’élève a additionné les chiffres de chaque nombre
  • la non maîtrise des symboles « < » et « > »,
  • 527<438, l’élève a comparé à partir du chiffre le plus à droite et non le plus à gauche.

Les suites de nombres