Dénombrer c’est répondre à la question  » combien? ». Dénombrer consiste à utiliser un moyen approprié pour exprimer une quantité d’unités par un nombre.

Il existe trois méthodes de dénombrements:

• le tableau à double entrée,
• l’arbre de choix,
• le raisonnement sans support.

Prenons par exemple le problème suivant:

La directrice fait une enquête auprès de 150 élèves pour les activités périscolaires (atelier photo et atelier peinture)
116 élèves déclarent aimer la photo, 52 la peinture et 40 aiment les deux? 
1) Combien d’élèves n’aiment que la peinture?
2) Combien d’élèves n’aiment ni l’un ni l’autre?

La résolution sans support pour commencer:

1. Il y a 52 élèves qui aiment la peinture et 40 élèves qui aiment la peinture et la photo. Donc, il y a 52-40=12 élèves qui n’aiment que la peinture.
2. Il y a 150 élèves dans l’école. 116 aiment la photo mais 40 aiment la photo et la musique donc il n’y a que 116-40= 76 élèves qui n’aiment que la photo.  Alors le nombre d’élèves n’aimant ni l’un ni l’autre est 150-(76+12+40)= 22

La résolution par tableau à double entrée

‘

La résolution par l’arbre de choix n’est vraiment pas adapté ici. Elle se prête beaucoup mieux à un problème du type:

Antoine a 1 pantalon  , 2 t-shirt ( un bleu ou un rouge) et 2 paires de chaussettes (  rayées ou à pois). Combien de tenues possibles Antoine a -t-il?

chaussettes rayées

T-shirt rouge

pantalon                                                                  chaussettes à pois

chaussette rayées

T-shirt bleu

chaussette à pois

Il y a donc 4 tenues différentes possibles.

Un système de numération est caractérisé par un ensemble de symboles (chiffres) et de procédés d’assemblage de ces symboles.

On distingue trois types de numérations:

• les numérations figurées (jetons, marque au sol, ..)
• les numérations orales: dépendantes de la numérations figurées ou écrites,
• les numérations écrites (utilisation d’un nombre limité de symboles)

Les systèmes de numération additifs:

1. le système égyptien, les chiffres égyptiens  ont la forme de hiéroglyphes,
2. le système romain, présente une particularité due au fait qu’un chiffre d’un signe supérieur au suivant placé à gauche se retranche,

L’inconvénient de ses systèmes de numération est d’une part que pour l’écriture d’un grand nombre, il faut écrire un grand nombre de symboles. Et que pour les nombres les plus grands, il aura fallu inventer de nouveaux symboles. Et d’autre part, les calculs sont difficiles à effectuer.

Les systèmes de numération de type positionnel:

Plusieurs systèmes de numération ont été conçu en attribuant aux symboles une valeur différente selon leur forme mais également selon le rang occupé dans l’écriture du nombre:

1. le système babylonien, en base 60, s’écrit à partir de symbole représentant l’unité, la dizaine puis la quantité 60. Une dizaine écrite en première position se lira 60¹, en deuxième position se comprendra comme 60²….Le problème de ce système de numération est l’absence de zéro pour marquer les vides. Par exemple: le décompte des heures, minutes et des secondes en base 60 est un héritage du système de numération babylonien. 1h =60 min, 1min=60 sec.. Pour ce qui est du nombre d’heures dans une journée, certains disent que les babyloniens comptaient sur les phalanges des 4 doigts (hormis le pouce), ainsi on a 12 phalanges par main soit 24 h en tout ( mes élèves adorent quand je le leur explique).
2. le système maya, en base 20, présente une écriture lourde malgré la présence du zéro car il n’existe que 3 symboles.
3. le système binaire, en base 2, n’emploie que des 0 et des 1.
4. le système de numération décimale, en base 10, emploi des symboles, des chiffres allant de 0 à 9.

La valeur d’un signe dépend de son rang dans l’écriture du nombre, l’ordre est stable.

La méthode de groupement est régulière: on groupe par 10 pour passer au rang supérieur,

Le nombre de signes différents (0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9) qui permet l’écriture d’un nombre est égale à la base (10).

Un des signes a pour fonction de signaler l’absence de groupement à un certain rang: c’est le zéro.

Un nombre est composé de chiffre, ainsi tout nombre en base 10 s’écrit:

abcdefgh (base 10)= a*10⁷+b*10⁶+c*10⁵+d*10⁴+e*10³+f*10²+g*10¹+h*10⁰

A l’oral, nous avons besoin de 23 mots nombres pour exprimer les chiffres jusqu’à 999: zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize,vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, cent