J’avais prévu de vous faire plein de post en Maths mais il faut avouer que Yvan Monka excelle dans le domaine et que je préfère vous renvoyer à son site plutôt que de refaire la même chose en moins bien (que ce soit les vidéos ou les cours)
https://www.maths-et-tiques.fr/
L’addition, voilà un sujet simple et complexe à la fois!
Déjà vous êtes vous déjà demandé pourquoi compte-t-on en base 10 ? évident on a 10 doigts!
Mais alors pourquoi les heures se comptent par 24 ?
Parce que ceux qui ont inventé ce système comptaient sur 3 phalanges des 4 doigts de la main (sans le pouce) et donc avec 2 mains à fait 24 phalanges.
Les mayas eux utilisaient un système mixte en base 5 et en base 20.. on comprend rapidement pourquoi.
Bref, avant de parler d’addition dans d’autre base je vais vous parler d’addition dans la base 10. Prenons par exemple: 19 + 7. Il vous parait évident que le résultat de cette addition est 26.
Mais parfois des élèves vont vous dire que cela fait 116. A votre avis que s’est il passé?
Et bien quelque chose comme cela:
| D | U | |
| 1 | 9 | |
| + | 7 | |
| = | 1 | 16 |
Ils ont additionné les unités avec les unités et les dizaines avec les dizaines. Or vous savez tous qu’il faudrait qu’une fois la dizaine complétée il faut la passer dans la « case » d’après ou la classe d’au dessus. Du coup, on obtient 26!
Donc, on est bien d’accord que dans une colonne les chiffres vont de 0 à 9.
Alors regardons comment faire dans une autre base.
Prenons par exemple l’addition en base 4. Les chiffres utilisés seront 0, 1, 2 et 3.
| D | U | |
| 1 | 1 | |
| + | 3 | |
| = |
1 + 3 = 4, quand on arrive à 4 c’est comme quand on arrive à 10 en base décimale. Donc, on ne va pas écrire 4 dans la case résultat des unités, on va ajouter un à la dizaine et zéro dans la case des unités puisque atteindre 4 veut dire avoir une dizaine complète.
Du coup on obtient:
| D | U | |
| 1 | 1 | |
| + | 3 | |
| = | 2 | 0 |
Si l’on refait l’exercice en base 5 par exemple, en additionnant: 3 + 4.
Je vous détaille mon raisonnement mais qui n’est pas à écrire ainsi sur la copie: 3 + 4= 7 = 5 (la dizaine en base 5) + 2
Sur la copie j’écris: 3 + 4 = 12 en base 5
Pour améliorer la compréhension je reprends un exemple en base 10: 6 + 8 = 14= 10 ( la dizaine) +4
Donc il faut comprendre que quelque soit la base lorsque la somme de 2 chiffres ( ou plus) est supérieure ou égale à base considérée alors il faut le décomposer de manière canonique. Et qu’on ajoute alors une unité à la dizaine.
Reprenons l’exemple 19+ 7 = 26 en base 10. La difficulté de compréhension dans le changement de base vient du fait que dans notre système décimale la dizaine se traduit par 1 et 0 c’est à dire 10. Et qu’après on ajoute une retenue égale à 1 à la case supérieure. Cela induit la confusion puisqu’on associe le 1 de 9 +7 = 16 ( dans les unités) au 1 de la retenue. Or ils n’ont rien à voir.
Une fois que l’on a compris le principe de décomposition du nombre en base 10 alors il est aisé de passer d’une base quelconque à une base 10.
Prenons par exemple le nombre 2012 en base 3.
Si je suis en base 3 alors cela veut dire que le nombre se décompose en puissance de 3. Le tableau ci-après vous indique la correspondance entre les différents rangs et les puissances de 3.
| Centaines de milles | Dizaines de milles | Milles | Centaines | Dizaines | Unités | |
| 3⁵ | 3⁴ | 3³ |
|
3¹ | 3⁰ |
Donc en plaçant le nombre choisi dans l’exemple dans le tableau en base 3: 1
| Milles | Centaines | Dizaines | Unités |
| 2 | 0 | 1 | 2 |
Donc pour revenir en base 10 il suffit d’écrire: 2012 (base 3) = 2 x 3³ + 0 x 3²+1 x 3¹ + 2 x 3⁰ = 59 (en base 10)
Pour vous entraînez essayer avec
4067 ( base 8)
240 (base 5)
111 ( base 2)
Tout d’abord qu’est ce qu’une base en mathématique??
Prenons un exemple pour démarrer, et l’exemple la base décimale. On dit décimale pour 10. Cela veut dire que le système de numération comporte 10 symboles d’écriture.
Dans notre système on utilise les chiffres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Notre système de numération est dit positionnel c’est à dire que la valeur d’un chiffre dépend de sa position dans le nombre. Je m’explique si j’écris 06 ou 60 le chiffre 6 n’a pas la même valeur : donc un cas il vaut six dans l’autre soixante (le 6 est placé dans la colonne des dizaine) pourtant j’ai utilisé les mêmes chiffres pour écrire ces deux nombres.
| Centaines de milles | Dizaines de milles | Milles | Centaines | Dizaines | Unités |
| 0 | 6 | ||||
| 6 | 0 |
Maintenant il faut s’interroger sur ce que veut dire une dizaine? Une dizaine c’est 10! Que je peux écrire 10^1 (=10)
Et une centaine? C’est 100 =10^2
Un millier? C’est 1000=10^3
et ainsi de suite.
Donc le nombre 3 568 se décompose de la manière suivante
3 568=3 000 + 500 + 60 + 8
= 3 x 1 000 + 5 x 100 + 6 x 10 + 8 x 1
= 3 x 10^3 + 5 x 10^2 + 6 x 10^1 + 8 x 10^0
Alors on se rend bien compte que c’est la puissance de 10 qui détermine la position du chiffre et on peut ainsi comprendre qu’il existe la correspondance suivante:
| Centaines de milles | Dizaines de milles | Milles | Centaines | Dizaines | Unités |
| 100 000 | 10 000 | 1 000 | 100 | 10 | 1 |
| 10⁵ | 10⁴ | 10³ | 10² | 10¹ | 10⁰ |
Et établir qu’en base 10 ou base décimale tout nombre se décompose en puissance de 10.
Changer de base en maths c’est un peu comme comprendre la correspondance grapho-phonétique. On n’a pas l’impression qu’il y ait une grande logique ou en tout cas au premier abord ça ne saute pas aux yeux.
J’espère qu’après mon petit laïus sur le sujet vous y verrez plus clair.
Prenons un exemple:
293 ( base 10) , quelle est son écriture en base 3 par exemple?
Donc en base 3, les chiffres utilisés sont 0, 1 et 2. Et en base 10, on a 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8 et 9..
Donc a votre avis en base 6??
Et bien on aura 0, 1, 2, 3, 4 et 5
Cela donne déjà une bonne indication si vous avez à vérifier la validité d’un nombre écrit dans une autre base.
Revenons à notre exemple: 293 ( base 10)=> ?(base 3)
Alors moi je commence par me faire un petit tableau comme cela:
| 3^6=729 | 3^5=243 | 3^4=81 | 3^3=27 | 3^2=9 | 3^0=1 |
Comment je sais où je dois m’arrêter dans les puissances de 3? C’est parce que 729>293>243 donc 3^6>293>3^5.
Après, je démarre à gauche du tableau et je me demande combien de fois j’ai 3^5 dans 293. Je l’ai 1 fois. Donc dans mon tableau:
| 3^6=729 | 3^5=243 | 3^4=81 | 3^3=27 | 3^2=9 | ‘3¹ | 3^0=1 |
| 0 | 1 | |||||
| 293-1×243=50 |
Une fois que j’ai enlevé 243 de 293 il ne me reste plus que 50.
Après je regarde 3^4, combien de fois j’ai 81 dans 50 ? et bien 0 car 81>50. Donc dans mon tableau, j’écris:
| 3^6=729 | 3^5=243 | 3^4=81 | 3^3=27 | 3^2=9 | ‘3¹ | 3^0=1 |
| 0 | 1 | 0 | ||||
| 293-1×243=50 |
je continue et je regarde 3^3? Combien de fois j’ai 3^3 dans 50? Je l’ai 1 fois. Dans mon tableau cela se traduit ainsi:
| 3^6=729 | 3^5=243 | 3^4=81 | 3^3=27 | 3^2=9 | ‘3¹ | 3^0=1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | |||
| 293-1×243=50 | 50-1×27=23 |
Il me reste 23.
Combien de fois ai-je 3^2 dans 23? 2 fois car 9×2=18 et 18<23. Dans le tableau, je l’écris ainsi:
| 3^6=729 | 3^5=243 | 3^4=81 | 3^3=27 | 3^2=9 | ‘3¹ | 3^0=1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | ||
| 293-1×243=50 | 50-1×27=23 | 23-9×2=5 |
Puis je me demande combien de fois j’ai 3^1 dans 5, je l’ai 1 fois donc il me reste 2:
| 3^6=729 | 3^5=243 | 3^4=81 | 3^3=27 | 3^2=9 | ‘3¹ | 3^0=1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 1 | |
| 293-1×243=50 | 50-1×27=23 | 23-9×2=5 | 5-1×3^1= 2 |
Enfin combien de fois ai-je 3^0 dans 2, je l’ai deux fois donc:
| 3^6=729 | 3^5=243 | 3^4=81 | 3^3=27 | 3^2=9 | ‘3¹ | 3^0=1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 1 | 2 |
| 293-1×243=50 | – | 50-1×27=23 | 23-9×2=5 | 5-1×3^1= 2 | 2-2×3^0=0 |
Donc l’écriture en base 3 de 293 est 101212
Le jour du concours vous écrirez sur la copie :
293= 3^5×1+3^4×0+3^3×1+3^2×2+3^1×1+3^0x2.
Chercher à écrire un nombre de la base 10 dans une autre base dite n revient à le décomposer en puissance de n.
Entraînez vous par exemple avec :
2034 (base 10)=> ? base 2
2675 ( base 10) => ? en base 7
36( base 10) => ? base 2