Additionner dans une base différente de la base décimale

L’addition, voilà un sujet simple et complexe à la fois!

Déjà vous êtes vous déjà demandé pourquoi compte-t-on en base 10 ? évident on a 10 doigts!

Mais alors pourquoi les heures se comptent par 24 ?

Parce que ceux qui ont inventé ce système comptaient sur 3 phalanges des 4 doigts de la main (sans le pouce) et donc avec 2 mains à fait 24 phalanges.

Les mayas eux utilisaient un système mixte en base 5 et en base 20.. on comprend rapidement pourquoi.

 

Bref, avant de parler d’addition dans d’autre base je vais vous parler d’addition dans la base 10. Prenons par exemple: 19 + 7. Il vous parait évident que le résultat de cette addition est 26.

Mais parfois des élèves vont vous dire que cela fait 116. A votre avis que s’est il passé?

Et bien quelque chose comme cela:

  D U
1 9
+ 7
                 = 1 16

Ils ont additionné les unités avec les unités et les dizaines avec les dizaines. Or vous savez tous qu’il faudrait qu’une fois la dizaine complétée il faut la passer dans la “case” d’après ou la classe d’au dessus. Du coup, on obtient 26!

Donc, on est bien d’accord que dans une colonne les chiffres vont de 0 à 9.

Alors regardons comment faire dans une autre base.

Prenons par exemple l’addition en base 4. Les chiffres utilisés seront 0, 1, 2 et 3.

  D U
1 1
+ 3
                 =

 

1 + 3 = 4, quand on arrive à 4 c’est comme quand on arrive à 10 en base décimale. Donc, on ne va pas écrire 4 dans la case résultat des unités, on va ajouter un à la dizaine et zéro dans la case des unités puisque atteindre 4 veut dire avoir une dizaine complète.

Du coup on obtient:

  D U
1 1
+ 3
= 2 0

 

Si l’on refait l’exercice en base 5 par exemple, en additionnant: 3 + 4.

Je vous détaille mon raisonnement mais qui n’est pas à écrire ainsi sur la copie: 3 + 4= 7 = 5 (la dizaine en base 5) + 2

Sur la copie j’écris: 3 + 4 = 12 en base 5

Pour améliorer la compréhension je reprends un exemple en base 10:  6 + 8 = 14= 10 ( la dizaine)  +4

Donc il faut comprendre que quelque soit la base lorsque la somme de 2 chiffres ( ou plus) est supérieure ou égale à base considérée alors il faut le décomposer de manière canonique. Et qu’on ajoute alors une unité à la dizaine.

Reprenons l’exemple 19+ 7 = 26 en base 10. La difficulté de compréhension dans le changement de base vient du fait que dans notre système décimale la dizaine se traduit par 1 et 0 c’est à dire 10. Et qu’après on ajoute une retenue égale à 1 à la case supérieure. Cela induit la confusion puisqu’on associe le 1 de 9 +7 = 16 ( dans les unités) au 1 de la retenue. Or ils n’ont rien à voir.

 

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