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Une fois que l’on a compris le principe de décomposition du nombre en base 10  alors il est aisé de passer d’une base quelconque à une base 10.

Prenons par exemple le nombre 2012 en base 3.

Si je suis en base 3 alors cela veut dire que le nombre se décompose en puissance de 3. Le tableau ci-après vous indique la correspondance entre les différents rangs et les puissances de 3.

Centaines de milles Dizaines de milles Milles Centaines Dizaines Unités
3⁵ 3⁴ 3³
3²
3¹ 3⁰

 

Donc en plaçant le nombre choisi dans l’exemple dans le tableau en base 3: 1

Milles Centaines Dizaines Unités
2 0 1 2

 

Donc pour revenir en base 10 il suffit d’écrire: 2012 (base 3) = 2 x 3³ + 0 x 3²+1 x 3¹ + 2 x 3⁰ =    59 (en base 10) 

 

Pour vous entraînez essayer avec

4067 ( base 8)

240 (base 5)

111 ( base 2)

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Tout d’abord qu’est ce qu’une base en mathématique??

Prenons un exemple pour démarrer, et l’exemple la base décimale. On dit décimale pour 10. Cela veut dire que le système de numération comporte 10 symboles d’écriture.

Dans notre système on utilise les chiffres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Notre système de numération est dit positionnel c’est à dire que la valeur d’un chiffre dépend de sa position dans le nombre. Je m’explique si j’écris 06 ou 60 le chiffre 6 n’a pas la même valeur : donc un cas il vaut six dans l’autre soixante (le 6 est placé dans la colonne des dizaine) pourtant j’ai utilisé les mêmes chiffres pour écrire ces deux nombres.

Centaines de milles Dizaines de milles Milles Centaines Dizaines Unités
        0 6
         6          0

 

Maintenant il faut s’interroger sur ce que veut dire une dizaine? Une dizaine c’est 10! Que je peux écrire 10^1  (=10)

Et une centaine? C’est 100 =10^2

Un millier? C’est 1000=10^3

et ainsi de suite.

Donc le nombre 3 568 se décompose de la manière suivante

3 568=3 000 + 500 + 60 + 8

= 3 x 1 000 + 5 x 100 + 6 x 10 + 8 x 1

= 3 x 10^3 + 5 x 10^2 + 6 x 10^1 + 8 x 10^0

Alors on se rend bien compte que c’est la puissance de 10 qui détermine la position du chiffre et on peut ainsi comprendre qu’il existe la correspondance suivante:

Centaines de milles Dizaines de milles Milles Centaines Dizaines Unités
100 000 10 000 1 000 100 10 1
10⁵ 10⁴ 10³ 10² 10¹ 10⁰

 

Et établir qu’en base 10 ou base décimale tout nombre se décompose en puissance de 10.

 

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Changer de base en maths c’est un peu comme comprendre la correspondance grapho-phonétique. On n’a pas l’impression qu’il y ait une grande logique ou en tout cas au premier abord ça ne saute pas aux yeux.

J’espère qu’après mon petit laïus sur le sujet vous y verrez plus clair.

Prenons un exemple:

293 ( base 10) , quelle est son écriture en base 3 par exemple?

  • Premièrement quand vous écrivez un nombre dans une base alors aucun des chiffres utilisés dans cette base ne peut être égale ou supérieur à celui de la base.

Donc en base 3, les chiffres utilisés sont 0, 1 et 2. Et en base 10, on a 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8 et 9..

Donc a votre avis en base 6??

Et bien on aura 0, 1, 2, 3, 4 et 5

Cela donne déjà une bonne indication si vous avez à vérifier la validité d’un nombre écrit dans une autre base.

 

  • Deuxièmement,  je vais vous apprendre ( à l’envers oui oui) comment passer d’une base à l’autre. Je dis bien à l’envers parce que le jour J il ne faut pas faire cela sur la copie. Mais chut personne ne corrigera votre brouillon. Et puis perso, cela m’a permis de comprendre.

Revenons à notre exemple: 293 ( base 10)=> ?(base 3)

Alors moi je commence par me faire un petit tableau comme cela:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 3^0=1

Comment je sais où je dois m’arrêter dans les puissances de 3? C’est parce que 729>293>243 donc 3^6>293>3^5.

Après, je démarre à gauche du tableau et  je me demande combien de fois j’ai 3^5 dans 293. Je l’ai 1 fois. Donc dans mon tableau:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1          
293-1×243=50

Une fois que j’ai enlevé 243 de 293 il ne me reste plus que 50.

Après je regarde 3^4, combien de fois j’ai 81 dans 50 ? et bien 0 car 81>50.  Donc dans  mon tableau, j’écris:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1 0        
293-1×243=50

je continue et je regarde 3^3? Combien de fois j’ai 3^3 dans 50? Je l’ai 1 fois. Dans mon tableau cela se traduit ainsi:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1 0 1      
293-1×243=50 50-1×27=23

Il me reste 23.

Combien de fois ai-je 3^2 dans 23? 2 fois car 9×2=18 et 18<23. Dans le tableau, je l’écris ainsi:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1 0 1 2
293-1×243=50 50-1×27=23 23-9×2=5

 

Puis je me demande combien de fois j’ai 3^1 dans 5, je l’ai 1 fois donc il me reste 2:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1 0 1 2 1  
293-1×243=50 50-1×27=23 23-9×2=5 5-1×3^1= 2

Enfin combien de fois ai-je 3^0 dans 2, je l’ai deux fois donc:

3^6=729 3^5=243 3^4=81 3^3=27 3^2=9 ‘3¹ 3^0=1
0 1 0 1 2 1 2
293-1×243=50             – 50-1×27=23 23-9×2=5 5-1×3^1= 2 2-2×3^0=0

 

Donc l’écriture en base 3 de 293 est 101212

 

Le jour du concours vous écrirez sur la copie :

293= 3^5×1+3^4×0+3^3×1+3^2×2+3^1×1+3^0x2.

Chercher à écrire un nombre de la base 10 dans une autre base dite n revient à le décomposer en puissance de n.

 

Entraînez vous par exemple avec :

2034 (base 10)=> ? base 2

2675 ( base 10) => ? en base 7

36( base 10) => ? base 2

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Dénombrer c’est répondre à la question  » combien? ». Dénombrer consiste à utiliser un moyen approprié pour exprimer une quantité d’unités par un nombre.

 

Il existe trois méthodes de dénombrements:

  • le tableau à double entrée,
  • l’arbre de choix,
  • le raisonnement sans support.

 

Prenons par exemple le problème suivant:

La directrice fait une enquête auprès de 150 élèves pour les activités périscolaires (atelier photo et atelier peinture)
116 élèves déclarent aimer la photo, 52 la peinture et 40 aiment les deux? 
1) Combien d’élèves n’aiment que la peinture?
2) Combien d’élèves n’aiment ni l’un ni l’autre?

La résolution sans support pour commencer:

  1. Il y a 52 élèves qui aiment la peinture et 40 élèves qui aiment la peinture et la photo. Donc, il y a 52-40=12 élèves qui n’aiment que la peinture.
  2. Il y a 150 élèves dans l’école. 116 aiment la photo mais 40 aiment la photo et la musique donc il n’y a que 116-40= 76 élèves qui n’aiment que la photo.  Alors le nombre d’élèves n’aimant ni l’un ni l’autre est 150-(76+12+40)= 22

La résolution par tableau à double entrée

‘

  Élèves qui aiment la photo Élèves qui n’aiment la photo Total élèves
Élèves qui aiment la peinture 40 12 52
Élèves qui n’aiment pas la peinture 76 22 98
Total élèves 116 34 150

 

 

La résolution par l’arbre de choix n’est vraiment pas adapté ici. Elle se prête beaucoup mieux à un problème du type:

Antoine a 1 pantalon  , 2 t-shirt ( un bleu ou un rouge) et 2 paires de chaussettes (  rayées ou à pois). Combien de tenues possibles Antoine a -t-il?

 

chaussettes rayées

T-shirt rouge

pantalon                                                                  chaussettes à pois

chaussette rayées

T-shirt bleu

chaussette à pois

 

Il y a donc 4 tenues différentes possibles.

 

 

 

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Un système de numération est caractérisé par un ensemble de symboles (chiffres) et de procédés d’assemblage de ces symboles.

On distingue trois types de numérations:

  • les numérations figurées (jetons, marque au sol, ..)
  • les numérations orales: dépendantes de la numérations figurées ou écrites,
  • les numérations écrites (utilisation d’un nombre limité de symboles)

Les systèmes de numération additifs:

  1. le système égyptien, les chiffres égyptiens  ont la forme de hiéroglyphes,
  2. le système romain, présente une particularité due au fait qu’un chiffre d’un signe supérieur au suivant placé à gauche se retranche,

L’inconvénient de ses systèmes de numération est d’une part que pour l’écriture d’un grand nombre, il faut écrire un grand nombre de symboles. Et que pour les nombres les plus grands, il aura fallu inventer de nouveaux symboles. Et d’autre part, les calculs sont difficiles à effectuer.

Les systèmes de numération de type positionnel:

Plusieurs systèmes de numération ont été conçu en attribuant aux symboles une valeur différente selon leur forme mais également selon le rang occupé dans l’écriture du nombre:

  1. le système babylonien, en base 60, s’écrit à partir de symbole représentant l’unité, la dizaine puis la quantité 60. Une dizaine écrite en première position se lira 601, en deuxième position se comprendra comme 602….Le problème de ce système de numération est l’absence de zéro pour marquer les vides. Par exemple: le décompte des heures, minutes et des secondes en base 60 est un héritage du système de numération babylonien. 1h =60 min, 1min=60 sec.. Pour ce qui est du nombre d’heures dans une journée, certains disent que les babyloniens comptaient sur les phalanges des 4 doigts (hormis le pouce), ainsi on a 12 phalanges par main soit 24 h en tout ( mes élèves adorent quand je le leur explique).
  2. le système maya, en base 20, présente une écriture lourde malgré la présence du zéro car il n’existe que 3 symboles.
  3. le système binaire, en base 2, n’emploie que des 0 et des 1.
  4. le système de numération décimale, en base 10, emploi des symboles, des chiffres allant de 0 à 9.