Les nombres permettent de:

• représenter les quantités: c’est l’aspect cardinal du nombre,
• représenter une place, un rang, une position: c’est l’aspect ordinal du nombre,
• anticiper les résultats.

Il est possible de « percevoir » les quantités, de les comparer ou de les faire varier sans avoir recours aux nombres et cela:

• visuellement (constellation de points) ,
• distribution (l’élève distribue toutes les cartes en sa possession à ses camarades et regarde ce qu’il reste)
• en établissant une correspondance terme à terme entre les éléments des collections. On  dit alors que les collections sont équipotentes si elles ont le même cardinal.

Ces procédures, dites non numériques, ont leurs limites. Elles ne permettent pas la mémorisation, ni la communication de la quantité.

Point vocabulaire:

Collection: est un ensemble d’éléments regroupés ensemble. Par exemple: une collection de 5 poupées.

La collection peut être témoin ou de référence, si c’est celle qui sert de point de départ au raisonnement. Par exemple: le PE demande à l’élève de chercher juste ce qu’il faut d’assiettes pour le repas des poupées. La collection de référence est composée par les poupées.

Chaîne numérique ou bande numérique: c’est une succession ordonnée de l’ensemble des entiers naturels.

Les principales procédures utilisées par les élèves de cycle 1 sont :

Procédure pour trouver une quantité:

• comptage ou recomptage: mémorisation de la suite orale des nombres et dénombrement en utilisant la suite orale.
• surcomptage (lorsque l’on associe deux collections) l’enfant part du résultat d’une des collections et commence à compter l’autre. Comptage en avant.
• décomptage (trouver les nombres qui restent)
• double comptage.

Le troisième axe sur lequel il est nécessaire de travailler avec les élèves est la comparaison de la quantité: qui de la collection A ou B à le plus d’objet, complète la collection A pour avoir autant d’objet que dans la collection B.

Procédure pour comparer les quantités:

• correspondance terme à terme ou par paquet (PS ou MS),
• dénombrer par subitizing (instantané) ou par comptage de un en un (GS),

La numération est la clé de voûte du cycle 2. Sa compréhension conditionne les autres apprentissages, les techniques opératoire, la compréhension du nombre fractionnaire ou décimal abordé au cycle 3.

Le CP marque le passage  du nombre  outil (utilisé comme une simple étiquette pour mesurer un quantité ou donner un rang) au nombre objet d’étude (l’étude du nombre pour lui même et la compréhension du système décimal).

Ce passage est marqué par 3 étapes:

1. l’approche globale basée sur l’oral (file numérique, .. ) : l’élève se situe alors dans le registre verbal, il mémorise la suite orale des nombres, puis sur la file numérique il établit un lien entre le mot-nombre dit et la désignation chiffré ou symbolique du nombre.
2. l’aspect algorithmique des écritures chiffrées : l’élève comprend qu’il n’existe que 10 chiffres pour écrire tous les nombres et que la valeur d’un chiffre est donné par sa position dans le nombre
3. le groupement par 10 et les échanges. Par exemple : le jeu du banquier. 

L’écriture en lettre est introduite progressivement et seulement lorsque les élèves savent lire les écritures chiffrées correspondantes. Au CE1, les connaissances sur les nombres entiers sont consolidées et le champs numérique est étendu. Les compétences en calcul sont accrues.

La relation quantité -écriture en chiffre

• Le codage, c’est à dire le passage d’une quantité à une écriture chiffrée, peut être réalisé par l’élève selon les procédures suivantes:

1. représenter la quantité d’objets par un groupement successifs réguliers de 10.
2. représenter la quantité par un objet choisi à l’avance. Par exemple: 1 groupe de 10 =1 jeton rouge, 10 jetons rouge =1 jeton bleu..

• Le décodage, c’est à dire le passage de l’écriture chiffrée à la quantité, peut être réalisé sous la forme d’une collection dont le nombre d?objets est donné par son écriture en chiffre: boules, carnet de timbres..

A l’issu du cycle 2, l’élève doit avoir compris les principes de

• régularité des groupement successifs par 10,
• égalité : 1d=10 u et 10 d=1 c,
• positionnel du nombre, c’est à dire que la valeur d’un chiffre est donnée par la place qu’il occupe dans le nombre,
• absence d’unité, de chiffre est marqué par le zéro,
• décomposition.

La comparaison de nombres entiers

on distingue deux procédures:

• la procédure experte: a et b deux nombres différents, alors le plus grand est celui qui à le plus de chiffres. Si a et b ont le même nombre de chiffres, l’élève regarde le chiffre le plus à gauche de chaque nombre et les compare, etc…
• la procédure personnelle:  l’élève se représente les quantités en faisant des groupements de 10, de 100 ou de 1000) ou l’élève a un raisonnement du type comparaison des milliers puis des centaines..

Les erreurs que  les plus fréquentes sont :

• 56>225 , l’élève a juste comparé le premier chiffre sans s?intéresser au nombre de chiffre du nombre,
• 51<29, l’élève a additionné les chiffres de chaque nombre
• la non maîtrise des symboles « < » et « > »,
• 527<438, l’élève a comparé à partir du chiffre le plus à droite et non le plus à gauche.

Les suites de nombres

Au cycle 1, l’utilisation des nombres s’effectue dans des situations concrètes visant à leur donner du sens. Les activités rituelles de la maternelle telles que le repérage de la date du jour, les fêtes, le nombre de présents ou d’absent y concourent.

Les situations ont pour objectif de faire apparaître les nombres comme des outils efficaces pour:

• mémoriser et comparer des quantités: aspect cardinal du nombre,
• repérer des positions dans une liste ordonnée d’objet: aspect ordinaldu nombre,
• mémoriser et communiquer des informations,
• réaliser une collection ayant autant, plus ou moins d’objet qu’une autre,
• comparer certaines dimensions des objets en utilisant un objet intermédiaire,
• anticiper le résultat d’actions sur les quantités.

L’élève passe d’une reconnaissance perceptive à un acquisition de la suite orale des nombres qu’il met en rapport avec la file numérique puis à l’écriture des nombres. Laconservation des quantités chez le jeune l’élève passe par 3 stades:

1. absence de conservation,
2. début de constitution d’un ensemble permanent,
3. conservation des quantités. A ce stade l’enfant sait que le fait de changer  l’ordre des objets, les déplacer ou les remplacer ne change pas l’aspect cardinal de la collection.

Parmi les situations que l’on peut proposer aux élèves pour les aider à comprendre l’utilité du nombre, il y a celle qui travaille sur la  mémorisation de la quantité. C’est à dire de demander  par exemple à l’élève d’apporter autant d’assiettes situées dans le coin cuisine qu’il y a de poupées assises autour d’une table. L’élève doit être capable de:

– garder directement la mémoire du nombre en dénombrant les poupées en utilisant la suite orale des nombres et en retenant le dernier nombre énoncé,

– utiliser une collection équipotente avec ses doigts.

Il faut également travailler sur la mémorisation du rang. Par exemple en mettant des boites toutes identiques en rang et de dire à l’élève c’est la 4^ème.