La division

1. Introduction

Il y a 4 situations possibles:

  • la division partage (division partition, division quotition) cf. Vernguaud
  • le rapport de 2 grandeurs de même nature. Comme π = P cercle/ Ø cercle
  • le calcul d’une moyenne,
  • la grandeur quotient associée à 2 grandeurs de natures différentes. Par ex: V= d/t (km/h)

La division de 2 nombres décimaux non entiers n”est pas étudié à l’école primaire => collège. Par contre on apprend la division décimale de 2 nombres entiers (CM1) et la division d’un nombre décimal par un entier (CM2).

2. Définition et propriétés

Dans N (les entiers naturels), la division avec reste est appelée division euclidienne: a = b x q + r

a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste, il est toujours positif ou nul et TOUJOURS INFÉRIEUR à 0. 

La division n’est ni commutative, ni associative. 1 est l’élément neutre tel que : a/1 = a

3. Progressivité des apprentissages

3.1 Au CE1

La compétence à construire et à acquérir pour le fin du CE1: approcher la division de 2 nombres entiers à partir d’un problèmes de partages ou de groupements. Partage par 2 et par 5.

Il est attendu que l’élève soit capable de :

  • reconnaître un problème de “division”, sachant que ce mot peut avoir deux sens:
    • partage: basé sur le partgae du dividende par le diviseur. C’est celui qui est le plus vite reconnu par les élèves.
    • groupement: basé sur la recherche du nombre de fois où le diviseur est contenu dans le dividende. Par exemple: combien de fois 2 dans 10
  • dire que ” dans une classe de 27 élèves on peut faire 5 équipes de 5 élèves et qu’il en reste 2″
  • écrire  10 ÷ 2 = 2 ou 11 = (2 x 5) +1

En fin de CE1 l’élève doit reconnaître des situations de partage ou de groupements.

3.2 Au CE2 

Compétences à construire et acquérir: 

Connaitre une technique opératoire de la division et la mettre en oeuvre avec un diviseur à un chiffre”

” Résoudre les problèmes de groupements et de partage: utiliser la division posée pour chercher le nombre de parts ou la valeur d’une part.

Pour y parvenir:

  • introduire l’idée de division en calcul mental par division exacte,
  • étendre l’idée de division en calcul mental par division avec reste,
  • entrainement avec des situations de partage puis de groupement, puis les 2 ensembles,
  • faire émerger la nécessité d’utiliser une technique opératoire . Commencer par diviser un grand nombre par un petit et montrer la limite des procédures schématives, calcul mental, procédure additive, ..
  • présenter la technique opératoire. En premier, on peut s’appuyer sur la procédure soustractive
  • Réinvestir à travers des problèmes variés.

3.3 Au CM1

Compétences à construire et acquérir: 

  • ” savoir poser/effectuer une division euclidienne de 2 entiers”
  • ” savoir poser et effectuer une division décimale de 2 entiers”

Pour ce faire, l’élève doit être capable de:

  • maîtriser les 2 sens de la division : partage/groupement
  • maîtriser les tables de multiplication
  • connaitre la valeur de chaque chiffre selon sa position dans un nombre (entière, décimale, .)
  • estimer le résultat ( encadrement, partage, …)
  • mémoriser les résultats successivement obtenus
  • vérifier/ contrôler le résultat.

3.3 Au CM2

Compétences à construire et acquérir: 

  • ” savoir diviser un nombre décimal par un nombre entier”

4. Les difficultés.

La division est posée de gauche à droite.

Elle demande l’exécution simultanée de division, multiplication et soustraction.

La retenue peut être supérieure à 1 si la soustraction est partielle

5. Les erreurs

Mauvaises estimations des chiffres du quotient,

Mauvaise mémorisation des résultats,

Oubli d’un zéro,

Gestion du reste ou du diviseur.

 6. Les connaissances

  • repérage de la valeur des chiffres,
  • les tables de multiplication,
  • le calcul approché,
  • le calcul de produits et de différences,

 

 

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