1. Le calcul mental

L’ enjeu du calcul mental c’est libérer l’esprit pour se concentrer sur les stratégies de recherche de de résolution de problème afin de se concentrer sur la compréhension. 

Pour calculer avec aisance, il faut:

• avoir mémoriser des répertoires de résultats (tables additives et multiplicatives),
• avoir mémoriser les structures et techniques qui permettent d’économiser le travail à effectuer ( par exemple 9 c’est 10-1)
• être capable de choisir rapidement entre plusieurs stratégies celle qui sera la plus adaptée à la situation.

 

Le terme calcul mental regroupe 2 composantes:

1. Le calcul automatisé: mémoriser les tables, les doubles, les moitiés, les compléments à 10.
2. Le calcul réfléchi: c’est à dire être capable de reconstruire ou de rendre un calcul plus simple en s’appuyant sur ce qui est connu, de développer une stratégie de raisonnement.

Des liens étroits, des allers/ retours se sont entre le calcul réfléchi et le calcul automatisé.

Le calcul automatisé requière le développement des savoirs suivants :

• consolider les images mentales des petits nombres (utiliser des représentations imagées comme  les constellations, les doigts, les quantités..)
• mémoriser les tables d’addition et de multiplication
• mettre les nombres entiers en relation: comptine ordonnée, sur-comptage/ décomptage  sur la bande numérique(attention tous les didacticiens des mathématiques ne sont pas d’accord sur l’enseignement ou l’utilisation du sur-comptage), appui sur les doubles connus, répétitions des unités à l’intérieur des dizaines, opérations simples de +10 ou de +1, décomposition additives, nombres inférieurs à 10)

Les conditions de mémorisation:

• Comprendre l’opération en jeu en se faisant une représentation mentales du calcul à effectuer,
• Prendre conscience de la nécessité d’un répertoire: recenser les résultats, compléter le répertoire,
• Développer les capacités à élaborer les résultats connus pour en construire d’autre,
• Entrainement des résultats à mémoriser.

Les difficultés récurrentes reposent sur la conception erronée  des élèves telle que l’interprétation de l’écriture à virgule comme d’adjonction de 2 entiers.

 

2. Le calcul en ligne

Le calcul en ligne est une modalité de calcul écrit ou partiellement écrit. Il est travaillé en complément du calcul mental, pour faciliter l’apprentissage des démarches et la mémorisations de la propriété des nombres.

Il permet d’effectuer sans recours à un algorithme de calcul posé des calculs trop complexes pour être intégralement traités mentalement.

Le calcul en ligne repose sur la compréhension de la notion du nombre, du principe de numération décimale de position et des propriétés des opérations.

Il participe :

• au développement des compétences : calculer, chercher, représenter, raisonner
• à la compréhension progressive des propriétés des opérations.

Au C1: élève quantifie les collections jusqu’à 10 au moins, compose et décompose à l’aide de manipulation mentales puis effectives.

Au C2: le calcul en ligne est articulé avec le calcul mental, opérant sur des contextes numériques qui se complexifient.

Au C3: la nature des nombres se complexifie ainsi que leurs différentes écritures. En fin de cycle les parenthèses sont introduite. Et en début de cycle les 4 opérations avec des nombres entiers.

 

3. Le calcul posé

C’est une méthode sécurisante qui donne à l’élève l’occasion de réinvestir les faits numériques. Il permet également l’étude du fonctionnement d’algorithmes complexe à partir de leur mise en pratique.

Par exemple la soustraction.

 

4. Le calcul instrumenté

C’est à dire l’utilisation de la calculatrice lors de la résolution de problèmes.

Autant vous prévenir d’avance, l’article est long et dense!

1. Introduction

Dans la plupart des manuels et des autres fiches que j’ai pu trouvé lorsque j’ai passé le concours, on ne parlait que de la théorie de Vergnaud. Mais je vous avoue m’être questionnée quel est le lien entre la classification des problèmes additifs et soustractifs de Vergnaud et le principe additif ou soustractif?

Mais tout d’abord un petit rappel des programmes:

Les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sont étudiées à partir de problèmes qui contribuent à leur donner du sens, en particulier des problèmes portant sur des grandeurs ou sur leurs mesures. La pratique quotidienne du calcul mental conforte la maîtrise des nombres et des opérations.  B.O cycle 2 p.73

 

Des résolutions de problèmes contextualisés : dénombrer des collections, mesurer des grandeurs, repérer un rang dans une liste, prévoir des résultats d’actions portant sur des collections ou des grandeurs (les comparer, les réunir, les augmenter, les diminuer, les partager en parts égales ou inégales, chercher combien de fois l’une est comprise dans l’autre, etc.). Ces actions portent sur des objets tout d’abord matériels puis évoqués à l’oral ou à l’écrit ; le travail de recherche et de modélisation sur ces problèmes permet d’introduire progressivement les quatre opérations   addition, soustraction, multiplication, division). B.O. Cycle 2 p.75

 

Résoudre des problèmes issus de situations de la vie quotidienne ou adaptés de jeux portant sur des grandeurs et leur mesure, des déplacements sur une demi-droite graduée, … conduisant à
utiliser les quatre opérations.

• Sens des opérations.

• Problèmes relevant des structures additives (addition/soustraction).

• Problèmes relevant des structures multiplicatives, de partages ou de groupements (multiplication/division).

•  Modéliser ces problèmes à l’aide d’écritures mathématiques.

• Sens des symboles +, −, ×, :.  B.O. Cycle 2 p.77

 

Selon Rémi Brissiaud, il existe 3 types de connaissances à acquérir:

1. des connaissances procédurales (savoir compter, savoir poser et exécuter les opérations arithmétiques…),
2. des connaissances déclaratives  (savoir que « neuf plus quatre égale treize » ; savoir que « quatre fois huit, trente-deux », par exemple), on parle ici des tables additives et multiplicatives
3. des connaissances qualifiées de « conceptuelles ». Rittle-Johnson & Siegler (1998). Des « connaissances conceptuelles » d’une opération arithmétique rendent comptent de la compréhension  de cette opération par élève (qu’est ce que je suis entrain de faire).

On comprend bien que l’attente des programmes  » donner du sens aux opération » ou contextualiser fait appel à ces connaissances qualifiées de conceptuelles. Et c’est ici précisément qu’intervient la classification des problèmes selon Vergnaud, c’est à dire qu’il propose une analyse des problèmes et de ce que l’élève doit faire pour le résoudre.

 

Ainsi, il faut que les élèves aient préalablement mémoriser les repères additifs et qu’ils disposent de la connaissance la technique opératoire de l’addition et de la soustraction.

« La résolution de problèmes arithmétiques est une des activités les plus complexes et les plus échouées à l’école élémentaire…elle mobilise plusieurs dimensions »M. Fayol, 2007

Donc, avant de se lancer dans la résolution de problèmes avec des élèves de cycle 2, il faut: qu’ils acquièrent des connaissances procédurales c’est à dire construire des automatismes de calcul (le complément à 10 par exemple) d’une part  et  les aider à s’approprier les nombres (suite verbale des nombres, passage d’un code à l’autre, manipulation des nombres écrits,  compréhension de la numération de position,  mobilisation de cette numération dans la résolution des opérations)  d’autre part.

De plus ils doivent acquérir des connaissances déclarative et  comprendre les propriétés des opérations de manière à ce que les faits arithmétiques ou outils opératoires disponibles ne soient pas un obstacle à la résolution du problème.

2. La classification des problèmes

2.1.  La composition de deux états.

Ici, les états sont généralement des quantités ou des mesure. On parle d’une situation statique.

On considère les situations qui portent sur 3 grandeurs où 2 d’entre elles se composent pour donner la 3ème.

La recherche du composé	La recherche d’une partie
Par exemple : Hier soir, j’ai mangé 2 pommes et 1 bananes.Combien fruits ai-je mangé en tout ?	Par exemple:   Dans un bouquet de 15 fleurs composé de tulipes et d’iris, il y a 8 tulipes. Combien y a-t-il d’iris ?
La situation est statique car il n’y a pas d’échange avec un autre acteur. On connait les 2 grandeurs de départ (les parties)  et on en déduit le composé (la somme). Ici, l’opération réalisée est une addition.	La situation est toujours statique. On connait le composé (15 fleurs) et une partie (8 tulipes). Il faut réaliser une soustraction pour trouver l’autre partie.

 

2.2. La transformation d’un état

Un état initial subit une transformation pour aboutir à un état final. La situation est donc dynamique. On peut observer un effet de croissance ou un effet de décroissance entre la situation initiale ei et la situation finale ef.

 

La transformation peut être positive ou négative.

La situation portent sur une quantité, une mesure ou sur une position sur une piste graduée.

La recherche de l’état final	La recherche de l’état initial	La recherche de transformation
Par exemple : Maxime a 2 bonbons. Je lui en donne 1. Combien en a t-il maintenant? ou encore: Je suis sur la case 12, je recule de 5 cases. Où vais-je arriver ?	Par exemple: Maxime a 3 bonbons. Je lui en ai donné 1. Combien en avait il au départ? ou Je suis sur la case 7,  j’ai reculé de 5 cases. D’où suis-je parti?	Par exemple: Maxime avait 3 bonbons. Maintenant, il en a 4. Combien lui en ai-je donné? ou Je suis sur la case 7. Avant j’étais sur la case 12. De combien de cases ai-je reculé?
Cette situation met en évidence la réversibilité de l’addition. C’est la première rencontre de l’élève avec la soustraction.	Dans cette situation, on trouve très souvent la formulation suivante  » X de moins que ». C’est un inducteur référé et ici il est souvent contre productif.	Cette situation demande à l’élève de faire appelle à la soustraction.

 

 

2.3. Comparaison d’états

Ici, il ne s’agit pas de transformation mais de comparaison. On compare 2 états. Dans ce type de problème, on trouve presque toujours les expressions « de plus/de moins »

Les situations comparées sont des quantités, des mesures ou des positions.

La comparaison peut être exprimé de manière positive ( plus que, plus loin que) ou négative (moins que, moins loin que,…)

La situation peut être statique ou dynamique, évoquer une augmentation ou une réduction ou une égalité. IL faut être vigilant à l’inclusion qu’il peut exister.

 

 

Recherche d’un des états	Recherche de la comparaison
Par exemple: J’ai 20 voitures, j’en ai 5 de plus que mon frère. Combien en a t-il ? ou Maxime a 10 ans. Il a 3 an de plus (ou de moins) que son frère.Quel âge a le frère de Maxime ?	Par exemple: J’ai 20 voitures. Mon frère en a 15. Combien en ai-je de plus que mon frère? ou Maxime a 10 ans. Son frère a 7 ans. Combien d’années a-t-il de plus que son frère?
La situation est statique. On s’intéresse à l’un des états	La situation est statique et l’on s’intéresse à la comparaison c’est à dire l’écart qui existe entre les deux états.

2.4 Composition de transformation

La situation est toujours dynamique et implique deux opérations successives. on dit qu’à 2 transformations,  on associe la transformation composée.

La transformation est positive ou négative.

Recherche de la transformation composée	Recherche de l’un des composantes
Par exemple: Maxime a reçu 7 bonbons puis il en a donné 5 à son petit frère. Combien lui en reste-t-i ? Ou J’avance de 2 cases puis j’avance encore d’une case. De combien de cases ai-je avancé en tout ?	Par exemple: Maxime a reçu 7 bonbons puis il en a donné  à son petit frère. Il lui en reste 2. Combien en a -t-il donné à son petit frère? Ou J’avance de 2 cases puis j’avance encore.J’ai avance de 3 cases en tout.  De combien de cases ai-je avancé la deuxième fois?

 

3. L’addition et la soustraction

3.1 L’addition

3.2. La soustraction

4. Le raisonnement et l’élaboration des procédures

C’est en fait la traduction de la situation (du problème)  par l’élève.

1. Transformer le problème posé pour se ramener à un type de problème qu’il sait résoudre. Il raisonne sur le contexte évoqué
2. Faire un schéma intermédiaire
3. Traduire l’énoncer par une équation
4. Procéder par essais en faisant une hypothèse sur la réponse.

5. Les types de procédures

1. Les procédures s’appuyant sur une figuration de la réalité et sur un dénombrement (collection de doigts équipotentes à celle énoncée par le problème)
2. Les procédures utilisant le comptage avant- arrière, le comptage de un en un, de 10 en 10, de 20 en 20…
3. Les procédures utilisant un calcul sur les nombres après une reconnaissance des calculs à effectuer => c’est la traduction mathématique de la situation.

6. Variables didactiques et difficultés rencontrées par les élèves

6.1. Les variables didactiques

Il est possible de proposer des variantes d’une même situation en jouant sur:

• la taille des nombres et la taille de leur écart. Par exemple : 5 et 7 ( écart 2) ou 21 et 76 ( écart 55). L’enjeu de la résolution de problème n’est pas de maîtriser la numération mais de développer une procédure de résolution.  Aussi, il faut limiter les obstacles pour les élèves en difficultés ou à contrario les augmenter pour les élèves ayant des facilités.
• la configuration des nombres. Les chiffres ronds sont plus faciles alors que les décimaux sont plus complexes à manipuler.
• la mise à disposition ou non d’outils de calcul (calculatrice par exemple).

6.2 Les difficultés

En général, les difficultés rencontrées par les élèves sont:

• la structure relationnelle du problème et la place de l’inconnue dans cette structure,
• les difficultés de calculs ( taille et nature des nombres),
• l’ordre d’apparition des données dans le texte,
• la présence de mots inducteurs d’une opération.

Les difficultés particulières au CP-CE1 sont:

• la numération: la suite verbal des nombres, le passage d’un code à l’autre, la manipulation des nombres écrits, la compréhension de la numération de position, la mobilisation de cette numération dans la résolution des opérations
• le passage des transformations (analogiques) aux opérations ( symboliques)

Comme le disait Brissiaud plus haut: il s’agit là de la difficultés à conceptualisés des notions arithmétiques.

J’ai trouvé dans mes recherches  un schéma représentant les origines des difficultés  des élèves et la théorie des concepts que je vous partage ici:

Les problèmes auxquels il est fait référence sont des problèmes de représentation analogique de la situation décrite  c’est à dire le modèle mental qu’on en fait, la prise en compte des  aspects conceptuels de la situation et les faits arithmétiques ( outils opératoires disponibles).

 

Enfin pour vous entraîner parce que tout ça c’est très abstrait.. ( merci Parimaths!!)

D7-Champ-Additif

D7C-Champ-Additif

D8-Champ-Additif-Problemes

D8C-Champ-Additif-Problemes

D9-Champ-Additif-Productions

D9C-Champ-Additif-Productions

Synthese_docs_problemes

 

Pour aller plus loin : http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_x/fic/22/22×4.pdf