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1. Droite, demi droite et segment

Droite (AB) ou (d)

Demie droite d’origine 1 passant par B [AB)

Segment [AB]

2. Cercle et disque

Le cercle de centre O et de rayon r est un ensemble de points situés à une distance identique r de O, r>0.

Le disque de centre O et de rayon r est un ensemble de points M tels que OM < ou = à r

C’est à dire que :

  • si un point M est sur le cercle de centre O et de rayon r alors OM =r
  • si un point M est tel que OM =r alors M est sur le cercle de centre O et de rayon r
  • si A et B sont sur le cercle alors [OA]=[OB]=r et [AB] est le diamètre du cercle

3. Droites perpendiculaires

Les droites sont perpendiculaires si elles forment un angle droit (90°).

Si deux droites sont perpendiculaires, elles déterminent alors 4 angles droits.

Pour tracer un droite perpendiculaire
passant par un point (A) à une droite (d)

  1. utiliser une règle et une équerre,
  2. avec un compas et une règle:
    1. tracer un arc de cercle de centre A qui coupe une droite (d) en 2 points B et B’.
    2. tracer 2 arcs de cercle de centre B puis de centre B’ de même rayon et qui se coupent entre eux ( a l’opposé de A)
    3. la droite passant par A et par l’intersection des arcs de cercle de B et B’ est perpendiculaire à (d)

A noter qu’il n’y a qu’une seule droite passant par un point et perpendiculaire à une droite donnée.

La distance d’un point A a une droite (d) est la plus petite distance entre A et n’importe quel point de cette droite. Imaginons H la projection de A sur cette droite alors AH est perpendiculaire à (d)

Enfin quelque soit M appartenant à la droite (d), AMH est un triangle rectangle donc AM > AH

4. Droites parallèles (d)// (d’)

La distance entre 2 droites parallèles est constante.

2 droites perpendiculaires à une même droite (d) sont parallèles entre elles.

Pour tracer une droite parallèle à (une droite (d) passant par un point A:

  1. placer 2 point B et B’ sur la droite (d).
  2. tracer un arc de cercle de centre A et de rayon BB’ et un arc de cercle de centre B’ et de rayon AB.
  3. la droite passant par A et par le point d’intersection des 2 arcs de cercles est parallèle à (d).

Démontrer que c’est une droite:

  • Si AC+CB=AB alors A, B, C sont alignés
  • si (AB) //(AC) alors A, B, C sont alignés.

5. Tangente à un cercle

Une tangente à un cercle est une droite qui a un seul point commun avec le cercle.

La tangente à un cercle de centre C, en un point M situé sur le cercle, est la droite perpendiculaire en M au rayon [CM]

6. Médiatrice d’un segment

La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

La médiatrice est une droite qui est un axe de symétrie du segment. C’est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe en son milieu.

Tracer la médiatrice d’un segment [AB]:

  1. tracer 2 arcs de cercle de centre A et B qui se coupent en 2 points. Attention le rayon choisi doit être supérieur à AB/2.
  2. tracer la droite joignant ses 2 points.

Propriétés:

  1. si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c’est une médiatrice.
  2. Si une droite est une médiatrice d’un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu.
  3. si un point est sur la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment et la réciproque est vrai. MA=MB.
  4. si une droite passe par 2 points équidistants des extrémités d’un segment alors c’est la médiatrice de ce segment.
  5. Si une droite passe par un point équidistant des extrémités et est perpendiculaire à ce segment alors c’est la médiatrice de ce segment.
  6. La médiatrice d’un segment [AB] partage le plan en 2 demi plan Pa et Pb. Le demi plan Pa est l’ensemble des points M plus proche de l’extrémité A c’est-à-dire MA<MB. Le demi plan B c’est MB<MA.

7. Cercle circonscrit à un triangle

Le cercle circonscrit à un triangle est le triangle dans le cercle qui passe par les 3 sommets de ce triangle.

O est sur la médiatrice de [AB]. OA=OB. O est sur la médiatrice de AC donc OA=OC donc OA=OB=OC.

Le cercle de centre O et de rayon OA passe par les 3 sommets du triangle. De plus O est sur la médiatrice BC donc (AB), (BC) et (AC) sont concourantes en O.

La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités du segment.

Le centre du cercle circonscrit est équidistant des 3 sommets du triangle.

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1.Notionnel

Un nombre est rationnel s’il peut s’exprimer comme le quotient de 2 nombres entiers.

L’écriture fractionnaire du quotient a:b est a/b

Un nombre est rationnel si et seulement si son écriture décimale est finie (1,6) ou infinie et périodique (1,3333..)

L’écriture décimale est une écriture finie qui peut s’écrire telle que: a/10^n ou a/(5^n x 2^m).

2. Didactique

La virgule permet de repérer le chiffre des unités.

2.1. Les grandes étapes de l’enseignement des nombres décimaux

  • fraction simple,
  • fraction décimale,
  • écriture décimale,

Les entrées à éviter sont d’introduire l’écriture décimale à virgule à partir de la juxtaposition par exemple: 3 cm 7mm = 3,7 cm ou 3,25€ c’est 3 euros et 25 centimes.

Il ne faut utiliser ni la monnaie ni les mesures. 

Les recommandations officielles sont d’entrer dans l’activité à partir des longueurs et des gabarits.

Non, non, il n’y a aucune ambiguïté dans ces propos! L’entrée dans l’activité se fera en mesurant un couloir ou une table par exemple ou des tables mais sans règle. En définissant puis en utilisant une unité de mesure entière qui va être reportée sur un gabarit en papier.

http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Fractions_et_decimaux/60/1/RA16_C3_MATH_frac_dec_doc_maitre_V2_681601.pdf

2.2 Les différents registres des décimaux

  • l’écriture fractionnaire,
  • l’écriture décimale,
  • registre ou désignation verbale,
  • droite graduée,
  • décomposition additive.

Les tâches qui permettent de construire le sens sont celles de comparaison, de calcul, de s’interroger sur la signification de l’écrit.

2.3 Similitudes et différences

  • Continuité des décimaux- entiers: les échanges 10 pour 1 et système positionnel.
  • Rupture des décimaux entiers:
    • l’unité peut être partagée,
    • entre deux décimaux on peut intercaler une infinité d’autres décimaux,
    • on passe d’un ensemble discret N à un ensemble continu D,
    • décimaux, ce n’est pas celui qui a le + de chiffre qui est le plus grand. Par exemple: 3,82>3,9 ou 2,72>2,6

Attention à l’utilisation du tableau de numération. Il peut induire une construction par mimétisme alors que l’on souhaite une construction simultanée du sens ( compréhension de l’aspect positionnel et décimal) et de la technique ( lors de travaux dédiés aux changements d’écriture).

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  1. La situation de référence (proposée en début de cycle piscine et en fin de cycle piscine pour observer les évolutions des élèves):
    1. tu entres dans l’eau en marchant, tu tiens une position d’équilibre puis une seconde position, tu passes sous la ligne d’eau. Tu récupères une frite, tu te déplace avec la frite puis tu sors de l’eau par l’échelle
    2. tu entres en eau profonde, tu te déplaces sans matériel, tu sors de l’eau et rejoint tes camarades.
  2. les attendus de fin de cycle 3
    1. réaliser seul ou à plusieurs un parcours sans un environnement inhabituel.
      1. sécuriser et maîtriser les déplacements,
      2. itinéraires proposés sont de difficultés variées mais de complexité modeste. Ils exigent la réalisation d’un projet de déplacement A/R et impose l’usage d’un matériel et de procédure adéquats et sécurisé.

Au C3, l’élève doit être capable:

  • savoir se préparer et disposer de procédures de sécurité,
  • se doter des premières habilités motrices,
  • enrichir ses techniques et habilités pour choisir des déplacements variés,
  • savoir suivre un itinéraire prédéfini.

Les comportements observables au C3:

  • allongement su et dans l’eau mais les bras restent le long du corps,
  • déplacement ventral en petit bain,
  • l’immersion sous l’eau est suivi d’un déplacement,
  • le déplacement de 25 m est réalisé avec fatigue,
  • la respiration est contrôlée, calme et stabilisée avec le déplacement.

Aisance dans l’eau => position horizontale=> déplacement => respiration en déplacement.

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La sécurité passive:

  • avoir une perche à porter de main
  • avoir une hauteur d’eau suffisante pour une entrée sautée,
  • s’éloigner des angles pour que les élèves ne sautent pas de biais.

La sécurité active:

  • les consignes:  » tu as le droit de sauter quand l’autre est remonté », « tu accroches tes orteils au bord ».
  • la surveillance des bassins par un MNS exclusivement affecté à cette tâche.

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1. Faire évoluer le milieu:

L’aménagement du bassin doit permettre une mise en activité de tous les élèves en toute sécurité. L’aménagement sécurise les élèves (lignes d’eau, tapis, accessibilité à des éléments de flottaison) mais on doit aussi engager l’élève à transformer ses actions.

2. Faire évoluer le rapport aux autres :

  • actions: sens, intensité, exercice, poursuite,
  • rôles : par exemple jeu du télégraphe, souffler des bulles,
  • nombre: jeu du chariot => l’élève allongé transporte des objets sur son ventre. Il est tracté par les autres.
  • répartition: face à face, côte à côte, en relais.

3. Faire évoluer les composantes de l’acte moteur:

  • L’espace:
    • profondeur– profondeur de déplacements ou à la quelle chaque élève cherche un objet,
    • distance– distance au bord, distance à parcourir de plus en plus longue,
    • surface/ sous l’eau- plus grande distance sur ou sous l’eau,
    • forme de déplacements- seul ou en relais
    • de l’échelle, du bord, des plots: entrer par l’échelle, bord, puis plot;
  • L’organisation corporelle:
    • partie du corps– jambes/ bras/ les deux,
    • position du corps– même exercice sur le ventre puis sur le dos,
    • action: agir avec des mouvements simultanés ou alternés.
  • Temps: durée, nombre de répétition ( au moins 5 fois) , vitesse, rythme

4. Faire évoluer les intentions: nager pour faire plus difficile, faire mieux, plus original.