Changer de base en maths c’est un peu comme comprendre la correspondance grapho-phonétique. On n’a pas l’impression qu’il y ait une grande logique ou en tout cas au premier abord ça ne saute pas aux yeux.
J’espère qu’après mon petit laïus sur le sujet vous y verrez plus clair.
Prenons un exemple:
293 ( base 10) , quelle est son écriture en base 3 par exemple?
- Premièrement quand vous écrivez un nombre dans une base alors aucun des chiffres utilisés dans cette base ne peut être égale ou supérieur à celui de la base.
Donc en base 3, les chiffres utilisés sont 0, 1 et 2. Et en base 10, on a 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8 et 9..
Donc a votre avis en base 6??
Et bien on aura 0, 1, 2, 3, 4 et 5
Cela donne déjà une bonne indication si vous avez à vérifier la validité d’un nombre écrit dans une autre base.
- Deuxièmement, je vais vous apprendre ( à l’envers oui oui) comment passer d’une base à l’autre. Je dis bien à l’envers parce que le jour J il ne faut pas faire cela sur la copie. Mais chut personne ne corrigera votre brouillon. Et puis perso, cela m’a permis de comprendre.
Revenons à notre exemple: 293 ( base 10)=> ?(base 3)
Alors moi je commence par me faire un petit tableau comme cela:
| 3^6=729 | 3^5=243 | 3^4=81 | 3^3=27 | 3^2=9 | 3^0=1 |
Comment je sais où je dois m’arrêter dans les puissances de 3? C’est parce que 729>293>243 donc 3^6>293>3^5.
Après, je démarre à gauche du tableau et je me demande combien de fois j’ai 3^5 dans 293. Je l’ai 1 fois. Donc dans mon tableau:
| 3^6=729 | 3^5=243 | 3^4=81 | 3^3=27 | 3^2=9 | ‘3¹ | 3^0=1 |
| 0 | 1 | |||||
| 293-1×243=50 |
Une fois que j’ai enlevé 243 de 293 il ne me reste plus que 50.
Après je regarde 3^4, combien de fois j’ai 81 dans 50 ? et bien 0 car 81>50. Donc dans mon tableau, j’écris:
| 3^6=729 | 3^5=243 | 3^4=81 | 3^3=27 | 3^2=9 | ‘3¹ | 3^0=1 |
| 0 | 1 | 0 | ||||
| 293-1×243=50 |
je continue et je regarde 3^3? Combien de fois j’ai 3^3 dans 50? Je l’ai 1 fois. Dans mon tableau cela se traduit ainsi:
| 3^6=729 | 3^5=243 | 3^4=81 | 3^3=27 | 3^2=9 | ‘3¹ | 3^0=1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | |||
| 293-1×243=50 | 50-1×27=23 |
Il me reste 23.
Combien de fois ai-je 3^2 dans 23? 2 fois car 9×2=18 et 18<23. Dans le tableau, je l’écris ainsi:
| 3^6=729 | 3^5=243 | 3^4=81 | 3^3=27 | 3^2=9 | ‘3¹ | 3^0=1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | ||
| 293-1×243=50 | 50-1×27=23 | 23-9×2=5 |
Puis je me demande combien de fois j’ai 3^1 dans 5, je l’ai 1 fois donc il me reste 2:
| 3^6=729 | 3^5=243 | 3^4=81 | 3^3=27 | 3^2=9 | ‘3¹ | 3^0=1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 1 | |
| 293-1×243=50 | 50-1×27=23 | 23-9×2=5 | 5-1×3^1= 2 |
Enfin combien de fois ai-je 3^0 dans 2, je l’ai deux fois donc:
| 3^6=729 | 3^5=243 | 3^4=81 | 3^3=27 | 3^2=9 | ‘3¹ | 3^0=1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 1 | 2 |
| 293-1×243=50 | – | 50-1×27=23 | 23-9×2=5 | 5-1×3^1= 2 | 2-2×3^0=0 |
Donc l’écriture en base 3 de 293 est 101212
Le jour du concours vous écrirez sur la copie :
293= 3^5×1+3^4×0+3^3×1+3^2×2+3^1×1+3^0x2.
Chercher à écrire un nombre de la base 10 dans une autre base dite n revient à le décomposer en puissance de n.
Entraînez vous par exemple avec :
2034 (base 10)=> ? base 2
2675 ( base 10) => ? en base 7
36( base 10) => ? base 2